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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 为什么n阶对称阵一定能对角化？
北京石油化工学院2026年研究生招生接收调剂公告
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xiangqianzsh

木虫 (著名写手)
引用回帖:
10楼: Originally posted by KZ1425 at 2011-11-11 16:20:19:
“不管矩阵A 对称不对称，不同特征值的特征向量总是正交的”这个是不正确的，只有对称阵的不同特征值对应的特征向量才正交，非对称阵只能保证不同特征值对应的特征向量线性无关。
不对非正称矩阵求正交矩阵的原 ...

受教了，知错了。我这里也有个弱弱的问题想不通，就是：对称矩阵为什么一定总能解出个数等于它特征值的重数的线性无关的特征向量来。
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11楼2011-11-12 09:33:36
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KZ1425

木虫 (著名写手)
引用回帖:
11楼: Originally posted by xiangqianzsh at 2011-11-12 09:33:36:
受教了，知错了。我这里也有个弱弱的问题想不通，就是：对称矩阵为什么一定总能解出个数等于它特征值的重数的线性无关的特征向量来。

这个问题相当于“ 为什么n阶对称阵一定能对角化”，书上没有证明，我百度了很久也没找到答案。现在发现我提问的第一个问题还是没有解决。
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12楼2011-11-12 10:39:24
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KZ1425

木虫 (著名写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by Jackie2011 at 2011-11-10 21:22:25:
1，对n阶对称阵，不同特征值对应的特征向量必正交继而线性无关，所以可以对角化；
2，n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量就可对角化，但对非对称陈而言，所求P不是正交矩阵！

第一个问题还是有疑问，不同特征值对应的特征向量必正交继而线性无关，这个没问题，但对于有k重根的特征值，怎么保证这个特征值恰有k个正交的特征向量？
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13楼2011-11-12 10:42:42
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xiangqianzsh

木虫 (著名写手)
引用回帖:
12楼: Originally posted by KZ1425 at 2011-11-12 10:39:24:
这个问题相当于“ 为什么n阶对称阵一定能对角化”，书上没有证明，我百度了很久也没找到答案。现在发现我提问的第一个问题还是没有解决。

这个书上有证明的，北大第三版，在讲标准正交基那一章里有的。用数学归纳法证得存在正交矩阵T，s.t.   T'AT为对角。
我是想:能不能从别的角度直接说明对称矩阵为什么一定总能解出个数等于它特征值的重数的线性无关的特征向量来。
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14楼2011-11-12 10:45:29
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KZ1425

木虫 (著名写手)
引用回帖:
14楼: Originally posted by xiangqianzsh at 2011-11-12 10:45:29:
这个书上有证明的，北大第三版，在讲标准正交基那一章里有的。用数学归纳法证得存在正交矩阵T，s.t.   T'AT为对角。
我是想:能不能从别的角度直接说明对称矩阵为什么一定总能解出个数等于它特征值的重数的线性无 ...

http://wenku.baidu.com/view/b83e3fba1a37f111f1855b50.html
是不是这本？
我没看过高等代数，能不能帮忙指出在第几页
还有你点一下回帖应助吧，我把金币给你
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15楼2011-11-12 10:54:04
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xiangqianzsh

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

KZ1425(金币+12): 谢谢 2011-11-12 11:08:16
引用回帖:
15楼: Originally posted by KZ1425 at 2011-11-12 10:54:04:
http://wenku.baidu.com/view/b83e3fba1a37f111f1855b50.html
是不是这本？
我没看过高等代数，能不能帮忙指出在第几页
还有你点一下回帖应助吧，我把金币给你

多谢了。。
是的，379页，如图
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16楼2011-11-12 11:00:16
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我爱mxd

新虫 (初入文坛)
只要满足可对角化的定义、定理及推论，性质的都可以对角化，具体的定理概念就不详细说了，书上写的很清楚
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孤灯·提单刀，漂泊我自傲
17楼2011-11-12 12:14:55
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