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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 为什么n阶对称阵一定能对角化？
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KZ1425

木虫 (著名写手)

[求助] 为什么n阶对称阵一定能对角化？

有两个问题请教各位：
1.为什么n阶对称阵一定能对角化？
2.书上把对称阵A对角化的步骤是：（1）求出不相等的特征值；（2）对每个k重特征值，求（A-λE）=0的基础解系，得k个线性无关的特征向量，再正交化、单位化；（3）把这些特征单位向量构成正交阵P，得P^-1·A·P=P(T)·A·P=对称阵。我的疑问是：对于不对称的n阶矩阵，如果它有n个线性无关的特征向量，可不可以按上述步骤把这不对称矩阵对角化？
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1楼 2011-11-10 20:36:18
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KZ1425

木虫 (著名写手)
引用回帖:
11楼: Originally posted by xiangqianzsh at 2011-11-12 09:33:36:
受教了，知错了。我这里也有个弱弱的问题想不通，就是：对称矩阵为什么一定总能解出个数等于它特征值的重数的线性无关的特征向量来。

这个问题相当于“ 为什么n阶对称阵一定能对角化”，书上没有证明，我百度了很久也没找到答案。现在发现我提问的第一个问题还是没有解决。
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12楼2011-11-12 10:39:24
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Jackie2011

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★
soliton923(金币+2): 谢谢参与讨论~~~ 2011-11-10 21:21:26
n阶矩阵A可相似于对角矩阵的充要条件即是：有n个线性无关的特征向量
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学好外语，不忘数学！
2楼2011-11-10 21:14:10
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Jackie2011

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

1，对n阶对称阵，不同特征值对应的特征向量必正交继而线性无关，所以可以对角化；
2，n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量就可对角化，但对非对称陈而言，所求P不是正交矩阵！
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学好外语，不忘数学！
3楼2011-11-10 21:22:25
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KZ1425

木虫 (著名写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by Jackie2011 at 2011-11-10 21:22:25:
1，对n阶对称阵，不同特征值对应的特征向量必正交继而线性无关，所以可以对角化；
2，n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量就可对角化，但对非对称陈而言，所求P不是正交矩阵！

1.对n阶对称阵，为什么不同特征值对应的特征向量必正交继而线性无关？
2.所求的P不是正交矩阵，我把它正交化、单位化，即把它化成规范正交基，再用这个规范正交基来求对角阵，P(T)·A·P=对角阵，可不可以？
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4楼2011-11-10 21:31:05
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