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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】从AB=I怎么推导出BA=I，这里A、B和I都是同阶方阵，并且I是单位阵
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就是溜溜的她

木虫 (小有名气)
衷心感谢诸君的讨论，并尤其感谢Pchief君！
无论从Pchief君回帖的数量、质量，还是耐心和细致，以及他数学知识的渊博和娴熟，都令我非常感动、肃然起敬！论坛正需要这样的热心朋友来帮助大家，希望今后能从Pchief君那里学到更多的知识！

[ Last edited by 就是溜溜的她 on 2010-11-19 at 11:47 ]
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51楼2010-11-18 23:23:23
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风云箭

铜虫 (小有名气)
不知道可不可以这么理解，因为AB=I，所以|A|不等于0，因此A是肯定存在逆矩阵的，不妨设为C，那么CA=AC=I，因此C=CI=C(AB)=(CA)B=IB=B，因此B=C，即BA=I，B就是A的逆矩阵
如果楼主的意思是指可不可以定义矩阵A的逆矩阵B只要求满足AB=I，那么我觉得也是可以的，因为我们知道在一个半群中，如果只有左单位元，每一个元素都只有左逆，那么这个半群也就是群
楼主提出的问题可以认为是矩阵作为乘法群的特殊情况
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52楼2010-11-28 22:44:04
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ykwang

金虫 (正式写手)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
引用回帖:
Originally posted by 风云箭 at 2010-11-28 22:44:04:
不知道可不可以这么理解，因为AB=I，所以|A|不等于0，因此A是肯定存在逆矩阵的，不妨设为C，那么CA=AC=I，因此C=CI=C(AB)=(CA)B=IB=B，因此B=C，即BA=I，B就是A的逆矩阵
如果楼主的意思是指可不可以定义矩阵A的逆 ...

经过这么长的时间，终于有人看出了问题之所在。从楼主原来的提问“从AB=I怎么推导出BA=I，这里A、B和I都是同阶方阵，并且I是单位阵”看，单位元I是不分左右的，因此只需证明在此条件下逆元也是不分左右的即可。这一证明已在6楼给出。后来楼主又提出以下的补充说明：
“现在还没有逆矩阵的概念，你想创建逆矩阵的一个定义，摆在你面前的是AB=I和BA=I两个等式，但是你觉得这两个等式是一回事，用数学的语言来说就是它们是等价的，其中一个可以推出另一个，因此只需要拿一个等式作为逆矩阵的定义即可”
按照这一要求，6楼的证明也是满足要求的，只需补充左逆和右逆阵的定义即可（前提仍是单位阵不分左右，且讨论只限于同阶方阵）：
“对于任一矩阵A，如果AB=I，则称B为A的右逆阵。同理，如果BA=I，则称B为A的左逆阵”
事实上在半群中单位阵是区分左右的。如果单位阵无左右之分，则上面定义的逆也无左右之分，即半群必然变为正常的群。这才是问题的关键所在。
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Nothing_Is_Impossible!
53楼2010-11-29 12:04:21
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xrma

木虫 (正式写手)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
如果事先给定A,B都是方阵，只需要一个;
其实AB=BA就是暗指A,B都是方阵。
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54楼2010-11-29 20:33:13
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dingdinghang

新虫 (初入文坛)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
线性代数及其应用，David C.Lay.刘深泉 译。112页，可逆矩阵定理，有详细的证明。

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55楼2015-10-13 22:15:37
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catchwo

新虫 (初入文坛)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
学习时也与到了这个问题,我的证明方法是:
AB=I 如果B唯一 则BA=I 易证: 因 ABA-A+AB=I 所以 A(BA-I+B)=I 即 BA-I+B=B 所以 BA=I

下证 B的唯一性
假设 AB=I,AC=I
对两等式的A同时进行 行简化阶梯阵 结果必为单位阵 否则有全零行等式矛盾（单位阵进行初等变换不可能出现全零行）
所以得 B=E1*E2*E3*...Em , C=E1*E2*E3*...Em.  其中Ei都为初等阵
由此 显然 B=C。唯一性证毕
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56楼2016-02-29 10:00:55
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catchwo

新虫 (初入文坛)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
补充以下 IA=AI=A 并不能肯定  AB=B 则 A=I
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57楼2016-02-29 10:34:32
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
定义如此有道理的!
要保证逆阵的唯一性!
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
58楼2016-03-01 09:55:51
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watesoyan

金虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
说白了就找本普通的群论书看一下就明白了

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59楼2016-03-04 12:23:13
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