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【求助】从AB=I怎么推导出BA=I，这里A、B和I都是同阶方阵，并且I是单位阵 已有22人参与
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线性代数中逆矩阵的定义只需要AB=I和BA=I其中一个等式就行了吧？如果是这样，从AB=I怎么推导出BA=I呢？ 不知道大家有没有理解我这个问题的意思，我这里再专门写清楚一点。我的意思是，假如你就是一个数学家，现在还没有逆矩阵的概念，你想创建逆矩阵的一个定义，摆在你面前的是 AB=I 和 BA=I 两个等式，但是你觉得这两个等式是一回事，用数学的语言来说就是它们是等价的，其中一个可以推出另一个，因此只需要拿一个等式作为逆矩阵的定义即可（但是我翻了一下我手头的两本线性代数书，它们都把两个等式都作为逆矩阵的定义，并没有只取其中一个，这就是我发本贴询问的原因，是不是只取一个就可以？同时我自己也还在寻求证明）。可是出于数学家严谨的习惯，你又不放心，觉得这两个等式的等价性需要证明一下，比如如果已知AB=I，怎么推导出BA=I？（这个证明了，已知BA=I，推导出AB=I显然就同理得出）只要证明了这两个等式等价，我们就只需要拿其中任一个等式作为逆矩阵的定义，而不是拿两个等式。明白了我的意思之后，各位就要注意了，现在你还根本没有逆矩阵的概念（因为你还没有给逆矩阵下定义，下定义是你推导完之后的事）就是说你在推导过程中根本不能利用逆矩阵的定义。 [ Last edited by 就是溜溜的她 on 2010-11-5 at 22:25 ] 证明见39楼和48楼 [ Last edited by 就是溜溜的她 on 2011-4-29 at 14:16 ] |
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ykwang
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经过这么长的时间，终于有人看出了问题之所在。从楼主原来的提问“从AB=I怎么推导出BA=I，这里A、B和I都是同阶方阵，并且I是单位阵”看，单位元I是不分左右的，因此只需证明在此条件下逆元也是不分左右的即可。这一证明已在6楼给出。后来楼主又提出以下的补充说明： “现在还没有逆矩阵的概念，你想创建逆矩阵的一个定义，摆在你面前的是AB=I和BA=I两个等式，但是你觉得这两个等式是一回事，用数学的语言来说就是它们是等价的，其中一个可以推出另一个，因此只需要拿一个等式作为逆矩阵的定义即可” 按照这一要求，6楼的证明也是满足要求的，只需补充左逆和右逆阵的定义即可（前提仍是单位阵不分左右，且讨论只限于同阶方阵）： “对于任一矩阵A，如果AB=I，则称B为A的右逆阵。同理，如果BA=I，则称B为A的左逆阵” 事实上在半群中单位阵是区分左右的。如果单位阵无左右之分，则上面定义的逆也无左右之分，即半群必然变为正常的群。这才是问题的关键所在。 |
53楼2010-11-29 12:04:21
2楼2010-11-04 17:52:38
Pchief
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cqsmath(金币+1):谢谢交流！ 2010-11-04 21:29:49
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首先，证明 B 的唯一性，就是说如果 AB=AC=I 则 B=C。 事实上，由 AB = I 两边取行列式可知 det A ≠ 0 。再由 AB = AC可得 A(B - C) =0，这就是说，B-C的每个列 x 是齐次线性方程组 Ax=0 的解。但由 det A ≠ 0，这个方程组只有零解，所以B-C的每个列都是零，从而 B=C。 其次，我们知道，如果 C= A^* / (det A)，其中 A^* 是 A 的伴随矩阵，则有 AC = I。由刚才所证，我们有 B=C。但是这个 C = A^* / (det A) 也满足 CA = I，从而 BA = CA = I，证毕。 |
3楼2010-11-04 18:38:01
Pchief
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4楼2010-11-04 18:42:14