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【求助】从AB=I怎么推导出BA=I，这里A、B和I都是同阶方阵，并且I是单位阵已有22人参与
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线性代数中逆矩阵的定义只需要AB=I和BA=I其中一个等式就行了吧？如果是这样，从AB=I怎么推导出BA=I呢？ 不知道大家有没有理解我这个问题的意思，我这里再专门写清楚一点。我的意思是，假如你就是一个数学家，现在还没有逆矩阵的概念，你想创建逆矩阵的一个定义，摆在你面前的是 AB=I 和 BA=I 两个等式，但是你觉得这两个等式是一回事，用数学的语言来说就是它们是等价的，其中一个可以推出另一个，因此只需要拿一个等式作为逆矩阵的定义即可（但是我翻了一下我手头的两本线性代数书，它们都把两个等式都作为逆矩阵的定义，并没有只取其中一个，这就是我发本贴询问的原因，是不是只取一个就可以？同时我自己也还在寻求证明）。可是出于数学家严谨的习惯，你又不放心，觉得这两个等式的等价性需要证明一下，比如如果已知AB=I，怎么推导出BA=I？（这个证明了，已知BA=I，推导出AB=I显然就同理得出）只要证明了这两个等式等价，我们就只需要拿其中任一个等式作为逆矩阵的定义，而不是拿两个等式。明白了我的意思之后，各位就要注意了，现在你还根本没有逆矩阵的概念（因为你还没有给逆矩阵下定义，下定义是你推导完之后的事）就是说你在推导过程中根本不能利用逆矩阵的定义。 [ Last edited by 就是溜溜的她 on 2010-11-5 at 22:25 ] 证明见39楼和48楼 [ Last edited by 就是溜溜的她 on 2011-4-29 at 14:16 ] |
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Pchief
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小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
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把我所有的回复汇总一下： A和B是同阶方阵，则等式 AB=I 蕴涵 BA=I 的证明 （略有简化） 首先感谢 ykwang 提供思路，虽然没有写出具体证明过程，但对证明的简化有一定帮助，鄙人在此收回26楼最后一句话，并郑重向 ykwang 致歉 首先由 AB = I 两边取行列式可知 det A ≠ 0，其次，等式 AB = I 两边右乘 A 得 ABA = A，移项并分离因式得 A(BA - I) = 0，于是 BA - I 的每个列 x 满足 Ax =0 ，但由 det A ≠ 0，齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解（Cramer法则），即 x = 0，这就是说， BA - I 的每个列都是零，从而得到 BA = I。 Cramer法则（若det A ≠ 0，则齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解）的证明（只用到行列式知识，不涉及矩阵） 设 x=(x(1), ..., x(n))'，并把 A 的 n 个列依次记为 ξ(1), ..., ξ(n). 则等式 Ax = 0可以写成 x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n) = 0 于是对于任何一个 j， 1≤j≤n，我们有 0 = det (ξ(1), ... , x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n), ... , ξ(n)) 其中x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n)位于第 j 个位置 =x(1) det (ξ(1), ... , ξ(1),...,ξ(n))+ ... + x(n) det (ξ(1), ... , ξ(n),...,ξ(n)) =x(j) det (ξ(1), ... , ξ(j),...,ξ(n)) 因为除了这一项，其他的行列式都有两列相同而为零 =x(j) det A. 由 det A≠0 得 x(j) =0，由于 j 的任意性得到 x = 0，Cramer法则得证。 反例：去掉A 和B是矩阵这个背景，AB = I 就不蕴涵 BA=I 了 令 X 是所有平方收敛的实数列的全体，即 X 中的元素形如 (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) 其中 x(1)^2 + x(2)^2 + ... + x(n)^2 +... < +∞。 X 在如下定义的加法和数乘下面成为实线性空间 (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) + (y(1), y(2), ..., y(n), ... ) = (x(1)+y(1), x(2)+y(2), ..., x(n)+y(n), ... ) a (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) = (a x(1), a x(2), ..., a x(n), ... ) , a∈R 设 A 和 B 是 X 上的线性变换，定义为： A (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) = (x(2), x(3), ... , x(n+1), ...) B (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) = (0, x(1), ..., x(n-1), ... ) 通常将 A 和 B 分别称为左推移和右推移。现在，不难验证 AB = I，但 BA (e) = 0 ≠ e，其中 e=(1, 0, ..., 0, ...) ，所以 BA ≠ I。 [ Last edited by Pchief on 2010-11-6 at 01:40 ] |
39楼2010-11-06 01:35:24
2楼2010-11-04 17:52:38
Pchief
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小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
cqsmath(金币+1):谢谢交流！ 2010-11-04 21:29:49
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首先，证明 B 的唯一性，就是说如果 AB=AC=I 则 B=C。 事实上，由 AB = I 两边取行列式可知 det A ≠ 0 。再由 AB = AC可得 A(B - C) =0，这就是说，B-C的每个列 x 是齐次线性方程组 Ax=0 的解。但由 det A ≠ 0，这个方程组只有零解，所以B-C的每个列都是零，从而 B=C。 其次，我们知道，如果 C= A^* / (det A)，其中 A^* 是 A 的伴随矩阵，则有 AC = I。由刚才所证，我们有 B=C。但是这个 C = A^* / (det A) 也满足 CA = I，从而 BA = CA = I，证毕。 |
3楼2010-11-04 18:38:01
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4楼2010-11-04 18:42:14