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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】从AB=I怎么推导出BA=I，这里A、B和I都是同阶方阵，并且I是单位阵
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就是溜溜的她

木虫 (小有名气)

[交流] 【求助】从AB=I怎么推导出BA=I，这里A、B和I都是同阶方阵，并且I是单位阵已有22人参与

线性代数中逆矩阵的定义只需要AB=I和BA=I其中一个等式就行了吧？如果是这样，从AB=I怎么推导出BA=I呢？
不知道大家有没有理解我这个问题的意思，我这里再专门写清楚一点。我的意思是，假如你就是一个数学家，现在还没有逆矩阵的概念，你想创建逆矩阵的一个定义，摆在你面前的是
AB=I
和
BA=I
两个等式，但是你觉得这两个等式是一回事，用数学的语言来说就是它们是等价的，其中一个可以推出另一个，因此只需要拿一个等式作为逆矩阵的定义即可（但是我翻了一下我手头的两本线性代数书，它们都把两个等式都作为逆矩阵的定义，并没有只取其中一个，这就是我发本贴询问的原因，是不是只取一个就可以？同时我自己也还在寻求证明）。可是出于数学家严谨的习惯，你又不放心，觉得这两个等式的等价性需要证明一下，比如如果已知AB=I，怎么推导出BA=I？（这个证明了，已知BA=I，推导出AB=I显然就同理得出）只要证明了这两个等式等价，我们就只需要拿其中任一个等式作为逆矩阵的定义，而不是拿两个等式。明白了我的意思之后，各位就要注意了，现在你还根本没有逆矩阵的概念（因为你还没有给逆矩阵下定义，下定义是你推导完之后的事）就是说你在推导过程中根本不能利用逆矩阵的定义。

[ Last edited by 就是溜溜的她 on 2010-11-5 at 22:25 ]

证明见39楼和48楼

[ Last edited by 就是溜溜的她 on 2011-4-29 at 14:16 ]
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1楼2010-11-04 17:43:01
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by ykwang at 2010-11-05 09:30:52:
故由（BA）B=B可知BA=I

这步的根据是什么？
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7楼2010-11-05 13:09:14
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小雨萌萌

铜虫 (文坛精英)

优秀版主
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
只需要定义一个就可以。根据就是A 和其伴随矩阵的乘积等于A的行列式
赞一下(1人) 回复此楼
2楼2010-11-04 17:52:38
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
cqsmath(金币+1):谢谢交流！ 2010-11-04 21:29:49
首先，证明 B 的唯一性，就是说如果 AB=AC=I 则 B=C。

事实上，由 AB = I 两边取行列式可知 det A ≠ 0 。再由 AB = AC可得 A(B - C) =0，这就是说，B-C的每个列 x 是齐次线性方程组 Ax=0 的解。但由 det A ≠ 0，这个方程组只有零解，所以B-C的每个列都是零，从而 B=C。

其次，我们知道，如果 C= A^* / (det A)，其中 A^* 是 A 的伴随矩阵，则有 AC = I。由刚才所证，我们有 B=C。但是这个 C = A^* / (det A) 也满足 CA = I，从而 BA = CA = I，证毕。
赞一下(3人) 回复此楼
3楼2010-11-04 18:38:01
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
cqsmath(金币+1):谢谢交流！ 2010-11-04 21:30:06
纯形式地讲从 AB = I 是 不能推出 BA = I 的，只是由于 A 跟 B 都是矩阵这一特定的条件才使得这种推导成为可能。
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4楼2010-11-04 18:42:14
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