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llaier

至尊木虫 (职业作家)

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[求助] 求助证明一个数列收敛

已知f(x)是上凸单调递增连续函数，g(x)是下凸单调递减连续函数。f(x)和g(x)相交于点P。s1和s2是横坐标值，f(x)和g(x)相对应的点为a1，b1，a2，b2，如图所示。直线a1a2与b1b2相交于点P1，P1对应的横坐标为s3，过P1作与x轴垂直的直线，与f(x)和g(x)分别相交于点a3和b3。然后，以a1，b1，a3，b3为四个点，作直线a1a3与b1b3，两条直线相交于点P2。依次生成交点序列{Pn}，求证Pn-->P。

序列Pn生成示意图

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1楼2012-04-23 22:41:12

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shtlyou

木虫 (小有名气)

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【答案】应助回帖

★ ★
llaier: 金币+2, ★有帮助, 谢谢帮助！ 2012-04-25 13:05:38

收敛性证明:设{Pn}中任意一点为Pk,其横坐标为pk,过Pk作x轴垂线交f(x)于ak+2，交g(x)于bk+2.横坐标为sk+2,(pk＝sk+2)。由上述证明可知sk+2＞p.设直线a1ak+2：y=f1(x)=mx+j；直线b1bk+2：y＝g1(x)＝ex+t。h(x)＝f1(x)-g1(x)＝(m－e)x+j－t。由题意易得h(s1)＜0，h(sk+2)＞0.且sk+2＞s1可得(m－e)＞0,h(x)为单调递增函数，可得h(x)在区间[s1，sk+2]上存在唯一点c，s1＜c＜sk+2,使得h(c)＝0,易得满足此条件的c值即为直线a1ak+2与直线b1bk+2交点的横坐标pk+1，得出pk+1＝c＜sk+2＝pk。故对于｛pn｝中任意pk,pk+1总有pk＞pk+1.由此可得｛pn｝为单调递减数列，且对任意pk均大于p,即此数列为单调递减且有下界的数列。故数列｛pn｝收敛。证毕

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