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llaier

至尊木虫 (职业作家)

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[求助] 求助证明一个数列收敛

已知f(x)是上凸单调递增连续函数，g(x)是下凸单调递减连续函数。f(x)和g(x)相交于点P。s1和s2是横坐标值，f(x)和g(x)相对应的点为a1，b1，a2，b2，如图所示。直线a1a2与b1b2相交于点P1，P1对应的横坐标为s3，过P1作与x轴垂直的直线，与f(x)和g(x)分别相交于点a3和b3。然后，以a1，b1，a3，b3为四个点，作直线a1a3与b1b3，两条直线相交于点P2。依次生成交点序列{Pn}，求证Pn-->P。

序列Pn生成示意图

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1楼 2012-04-23 22:41:12

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shtlyou

木虫 (小有名气)

应助: 7 (幼儿园)
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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
llaier: 金币+5, ★有帮助, 非常感谢！但是您的确只证明了Pn位于P的右侧，而没有证明其收敛性。还是很感谢！ 2012-04-24 23:15:23

证明：由该题给定的上凸单调递增连续函数性质可得对给定的任意两点s1,s2和任意的实数λ∈（0，1），
总处在f（λs1+(1-λ）s2）>λf(s1)+(1-λ）f(s2)----------------1
且s1 设直线a1a2：y=f1(x)=mx+h,则λf(s1)+(1-λ）f(s2)=λf1(s1)+(1-λ）f1(s2)=m[λs1+(1-λ）s2]+n=mp+h=f1(p)-----------3
由1、2、3可得f(p)>f1(p),即P点位于直线a1a2上方-----------4
依葫芦画瓢同理可得,即P点位于直线b1b2下方-----------5
设P1是直线a1a2与直线b1b2的交点，由4、5结论及s1p.
接下来运用数学归纳法做
当n=1时由上述证明可得p1>p.
设当n=K时pk>p,
过PK作X轴的垂线与f(x)、g(x)交点为ak+2、bk+2.直线a1ak+2与直线b1bk+2的交点为Pk+1
同理可得
即P点位于直线a1ak+2上方－－－－－－－－－－５
即P点位于直线b1bk+2下方－－－－－－－－－－６
由５、６可得P点位于三角形b1a1Pk+1内部区域，进而得出pk+1>p。
故由以上分析可得
依次生成交点序列{Pn}中Pn-->P，
证毕。急需金币，朋友觉得证明可以的话就多散些金币吧