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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求助证明一个数列收敛
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shtlyou

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

收敛性证明:设{Pn}中任意一点为Pk,其横坐标为pk,过Pk作x轴垂线交f(x)于ak+2，交g(x)于bk+2.横坐标为sk+2,(pk＝sk+2)。由上述证明可知sk+2＞p.设直线a1ak+2：y=f1(x)=mx+j；直线b1bk+2：y＝g1(x)＝ex+t。h(x)＝f1(x)-g1(x)＝(m－e)x+j－t。由题意易得h(s1)＜0，h(sk+2)＞0.且sk+2＞s1可得(m－e)＞0,h(x)为单调递增函数，可得h(x)在区间[s1，sk+2]上存在唯一点c，s1＜c＜sk+2,使得h(c)＝0,易得满足此条件的c值即为直线a1ak+2与直线b1bk+2交点的横坐标pk+1，得出pk+1＝c＜sk+2＝pk。故对于｛pn｝中任意pk,pk+1总有pk＞pk+1.由此可得｛pn｝为单调递减数列，且对任意pk均大于p,即此数列为单调递减且有下界的数列。故数列｛pn｝收敛。证毕

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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想过成功，想过失败，但从来没有想过放弃。只为成功找办法，不为失败找理由！
11楼2012-04-25 00:43:03
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cars

金虫 (小有名气)
h=f-g
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12楼2012-04-25 10:53:09
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llaier

至尊木虫 (职业作家)
感谢大家的回复！这个问题已经解决了，晚上我把答案再贴出来。
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13楼2012-04-25 13:06:48
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llaier

至尊木虫 (职业作家)
我给出个思路吧。首先证明两条直线的交点都位于曲线交点的右侧，然后求出直线交点的表达式。然后可以根据割线法收敛性证明的方法证明即可。
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14楼2012-04-30 12:11:14
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wgdxidname

木虫 (著名写手)
方法简单：
      构造新函数： h(x)=f(x)-g(x), 则新函数是上凸递增的， 两个函数交点p就是新函数h(x)的零点； 链接新函数h(x)的a b两点直线的直线的零点就是原来两个直线的交点p1；p1对应的h(x)的点与另一个端点a 或者b连接，新的直线的零点就是p2；依次下去，得到点列就收敛到p； 这个是数值分析里面求解零点的常用迭代方法，叫弦截法。 方法对于上述上凸递增函数是保证收敛的。
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四大皆空
15楼2013-03-10 13:04:06
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