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llaier

至尊木虫 (职业作家)

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[求助] 求助证明一个数列收敛

已知f(x)是上凸单调递增连续函数，g(x)是下凸单调递减连续函数。f(x)和g(x)相交于点P。s1和s2是横坐标值，f(x)和g(x)相对应的点为a1，b1，a2，b2，如图所示。直线a1a2与b1b2相交于点P1，P1对应的横坐标为s3，过P1作与x轴垂直的直线，与f(x)和g(x)分别相交于点a3和b3。然后，以a1，b1，a3，b3为四个点，作直线a1a3与b1b3，两条直线相交于点P2。依次生成交点序列{Pn}，求证Pn-->P。

序列Pn生成示意图

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1楼2012-04-23 22:41:12

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wgdxidname

木虫 (著名写手)

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lovibond: 金币+1, 鼓励交流 2012-04-25 12:04:17

鉴于初始四点的选择，和两个曲线都是联系的，所以在s1 s2之间肯定有交点。接下来每次替换一组点的规则就是（b1-a1）*（b2-a2）<0，如此选择一定能保证两线交点一定在着四点对应的两个左边之间。由于两个曲线的性质，都是单调的，所以他们有唯一的一个交点。现在首先架设，某一步得到的新点恰好就是两线交点，则新的点ai bi 相等了。这样再按照规则找下去就会每次都得到同样的点。于是点列就收敛了，并收敛到交点。另外，如果每次都不能恰好是交点，则，根据规则，（b1-a1）*（b2-a2）不等于0，于是他们的新的交点一定在他们中间，并且这四个点对应的两个横坐标是严格递减的，而开始的s1 s2之间距离是有限的，每次都严格降低，所以si s2一定收敛到一起，s1-s2->0,但是期间两线交点一直在s1 s2之间，所以，点列是收敛到交点的。这里的证明跟数学分析或着高等数学里面证明思想是一样的。