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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 关于线性代数
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到时候

银虫 (小有名气)

[交流] 关于线性代数 已有4人参与

有一个题目
A为一个秩为2的3阶方阵阵，且有A2-5A+6E=O，求A的特征值。
我的答案是0,2,3.也就是说我有一个结论
   A，B均为不为零的方阵，若AB=O，那么有|A|=|B|
是正确的吗？，若是怎么证明？
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小楼一夜听春雨
1楼 2012-01-02 13:59:15
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xuyx_78

金虫 (小有名气)
★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
soliton923(金币+2): 谢谢参与讨论~~~ 2012-01-02 21:02:15
若A与B至少有一个可逆，不妨设A可逆，则由AB=O立即得B=O.因此由已知A,B不为零矩阵，立即可知A,B均不可逆，从而|A|=|B|=0.
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2楼2012-01-02 14:39:44
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wjchen

至尊木虫 (职业作家)
★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
soliton923(金币+2): 谢谢参与讨论~~~ 2012-01-02 21:02:21
因为AB=O, 所以R(A)+R(B)<=n, 而A,B都是非零的，R(A)>=1,R(B)>=1,
从而R(A)
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3楼2012-01-02 20:00:49
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到时候

银虫 (小有名气)
引用回帖:
楼: Originally posted by wjchen at 2012-01-02 20:00:49:
因为AB=O, 所以R(A)+R(B)<=n, 而A,B都是非零的，R(A)>=1,R(B)>=1,
从而R(A)<n , R(B)<n, 故。。。。。。。。。。。。

为何从AB=O可推出 R(A)+B(B)<=n
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小楼一夜听春雨
4楼2012-01-02 21:19:05
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)
★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
soliton923(金币+1): 谢谢参与讨论~~~ 2012-01-02 22:32:45
"A为一个秩为2的3阶方阵阵，且有A2-5A+6E=O，求A的特征值。"
--由此条件推出 x^2-5x+6是A的零化多项式，又 x^2-5x+6=（x-2）（x-3）
且A的秩为2，所以A的特征值情况分为三种情况：
1）0，2，2
2）0，2，3
3）0，3，3
具体是哪种情形，还需其他条件
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5楼2012-01-02 21:24:08
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beylisa

木虫 (小有名气)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
你这个题有问题，若满足你所说的式子， A^2-5A+6E=0的话，它的秩不可能是2，因为若满足这个式子，它必然是可逆的啊
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6楼2012-01-02 21:27:35
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到时候

银虫 (小有名气)
引用回帖:
楼: Originally posted by math2000 at 2012-01-02 21:24:08:
"A为一个秩为2的3阶方阵阵，且有A2-5A+6E=O，求A的特征值。"
--由此条件推出 x^2-5x+6是A的零化多项式，又 x^2-5x+6=（x-2）（x-3）
且A的秩为2，所以A的特征值情况分为三种情况：
1）0，2，2
2）0 ...

由A²-5A+6E=0可推出（A-2E)（A-3E）=0,则有|A—2E||A—3E|=0，又由于秩为2，那么A—2E，A—3E是非零方阵，那么有|A-2E|=|B-3E|=0，那么·2,3应该都是他的特征值
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小楼一夜听春雨
7楼2012-01-02 21:38:07
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到时候

银虫 (小有名气)
引用回帖:
楼: Originally posted by beylisa at 2012-01-02 21:27:35:
你这个题有问题，若满足你所说的式子， A^2-5A+6E=0的话，它的秩不可能是2，因为若满足这个式子，它必然是可逆的啊

我也发现了，题目没选好，我说这个体制是举个例子，我是想说：若已知方阵A B，A，B非零由AB=O，可否推出|A||B|=O？
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小楼一夜听春雨
8楼2012-01-02 21:44:22
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)
A=[0,0,0;0,2,0;0,0,2] 或
A=[0,0,0;0,3,0;0,0,3]
或
A=[0,0,0;0,2,0;0,0,3]
你去算算！
LZ线代没有学好！！
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9楼2012-01-02 21:46:14
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到时候

银虫 (小有名气)
引用回帖:
楼: Originally posted by math2000 at 2012-01-02 21:46:14:
A=[0,0,0;0,2,0;0,0,2] 或
A=[0,0,0;0,3,0;0,0,3]
或
A=[0,0,0;0,2,0;0,0,3]
你去算算！
LZ线代没有学好！！

其实我的举例有问题因为若 A^2-5A+6E=O，应该有A(E-5A）/6=E，即A的秩不可能为2.我发帖的目的是想问，由非零方阵A,B，满足AB=O，能否推出|A|=|B|=0？不要看那个题目
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小楼一夜听春雨
10楼2012-01-02 22:00:38
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