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hanye0517

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[求助] 自然坐标系下坐标关于时间的微分的计算

例如一个点做环形运动,其运动矢量 $\vec{R}=r\vec{x}+y\vec{y}$ ,其中， $\vec{x}$ , $\vec{y}$ , $\vec{z}$ 分别是粒子自然坐标系下的径向，轴向和切向。现在要求 $dz/dt$ $dx/dt$ ,为什么要把它化成 $dx/dt=\frac{dx}{d\theta }\cdot \frac{d\theta}{dt}=\vec{z}\cdot \dot{\theta},dz/dt=\frac{dz}{d\theta }\cdot \frac{d\theta}{dt}=-\vec{x}\cdot \dot{\theta}$ ,我不明白的地方是：
为什么一定要把自变量换成[latex]{\theta}[latex]才能够把方向向量x转换成方向向量z？就是说，为什么方向向量的变化有两种方式：沿切向也就是z，和沿时间t，这两个在此坐标系下的计算有什么不同？

[ Last edited by hanye0517 on 2013-8-15 at 17:00 ]

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道之所在，虽千万人吾往矣。

1楼 2013-08-15 16:57:04

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pippi6

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【答案】应助回帖

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hanye0517: 金币+20, ★★★★★最佳答案, 醍醐灌顶 2013-08-15 20:30:05

引用回帖:

6楼: Originally posted by hanye0517 at 2013-08-15 19:59:28
对，我就是想理解那个为啥是随角度变化而不是随时间变化的？理论上说，这两种说法都是可行的，但是为什么要写成上边的形式？...

我就用文字描述吧。就是说，径向矢量对角度的导数是切向矢量，切向矢量对角度的导数是反径向矢量。这一点很容易验证，想象一下也可以理解。总之这个公式要记住。和时间变化没有直接关系。之所以有间接关系是因为角度随时间变化。

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8楼2013-08-15 20:09:10

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你这个符号用的很不主流，写的好像也有问题。我用通常的符号吧。位置矢量在柱坐标下的的表达式为
${\bf  x }= r {\bf  e }_r + z {\bf  e }_z$ ，这里 ${\bf  e }_r$ ，   ${\bf  e }_\theta$ 和 ${\bf  e }_z$ 分别是径向r，角向 theta 和轴向z的单位矢量。我想，你问题是要理解单位矢量   ${\bf  e }_r$ 和 ${\bf  e }_\theta$ 是随角度 $\theta$ 变化（请验证）。变化的公式是
$\frac{ \partial {\bf  e }_r }{ \partial  \theta}  = \bf  e }_\theta$ ,
$\frac{ \partial {\bf  e }_\theta }{ \partial  \theta}  = -\bf  e }_r$ . 所以，
$\frac{d {\bf  x }}{dt}= \frac{d  r }{dt} {\bf  e }_r  +r \frac{d {\bf  e }_r  }{dt} + \frac{d  z}{dt} {\bf  e }_z =  \frac{d  r }{dt} {\bf  e }_r  - r \frac{d \theta  }{dt}  {\bf  e }_\theta+ \frac{d  z}{dt} {\bf  e }_z$ .

不知道这是不是解答了你的问题。

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2楼2013-08-15 17:30:35

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

引用回帖:

2楼: Originally posted by pippi6 at 2013-08-15 17:30:35
你这个符号用的很不主流，写的好像也有问题。我用通常的符号吧。位置矢量在柱坐标下的的表达式为
{\bf x }= r {\bf e }_r + z {\bf e }_z ，这里 {\bf e }_r ， {\bf e }_\theta 和 {\bf e }_z ...

刚才写的有点问题。
位置矢量的变化应该是
$\frac{d {\bf x }}{dt } = \dot(r) {\bf e }_r +r \dot(\theta){\bf e }_\theta + \dot(z) {\bf e }_z$

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3楼2013-08-15 17:35:41

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【答案】应助回帖

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3楼: Originally posted by pippi6 at 2013-08-15 17:35:41
刚才写的有点问题。
位置矢量的变化应该是
\frac{d {\bf x }}{dt } = \dot(r) {\bf e }_r +r \dot(\theta){\bf e }_\theta + \dot(z) {\bf e }_z ...

总是写错，没有预览真不方便！

$\frac{d {\bf x }}{dt } = \dot{r} {\bf e }_r +r \dot{\theta}{\bf e }_\theta + \dot{z} {\bf e }_z$

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4楼2013-08-15 17:38:19

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hanye0517

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4楼: Originally posted by pippi6 at 2013-08-15 17:38:19
总是写错，没有预览真不方便！

\frac{d {\bf x }}{dt } = \dot{r} {\bf e }_r +r \dot{\theta}{\bf e }_\theta + \dot{z} {\bf e }_z ...

哥，你这160啥的是啥啊，看不懂啊~~能给个代码不?

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5楼2013-08-15 19:53:55

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对，我就是想理解那个为啥是随角度变化而不是随时间变化的？理论上说，这两种说法都是可行的，但是为什么要写成上边的形式？

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6楼2013-08-15 19:59:28

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5楼: Originally posted by hanye0517 at 2013-08-15 19:53:55
哥，你这160啥的是啥啊，看不懂啊~~能给个代码不?...

是，好像在手机客户端上显示160，在pc计算机上就没有。这个latex显示软件好像有点问题。

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7楼2013-08-15 20:05:05

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8楼: Originally posted by pippi6 at 2013-08-15 20:09:10
我就用文字描述吧。就是说，径向矢量对角度的导数是切向矢量，切向矢量对角度的导数是反径向矢量。这一点很容易验证，想象一下也可以理解。总之这个公式要记住。和时间变化没有直接关系。之所以有间接关系是因为角 ...

我就是不明白为什么是对角度的导数？

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9楼2013-08-15 20:34:06

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9楼: Originally posted by hanye0517 at 2013-08-15 20:34:06
我就是不明白为什么是对角度的导数？...

ok。逻辑是这样，位置点的角度(theta)随时间变化了，所以径向和切向的的方向也变化了。所以需要径向和切向矢量对角度的变化率

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hanye0517

10楼2013-08-15 21:27:01

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