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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 物理 » 其他交流 » 关于直线和曲线坐标系的疑问以及在物理学（量子力学）中的困惑
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fyl7

铁杆木虫 (正式写手)

[交流] 关于直线和曲线坐标系的疑问以及在物理学（量子力学）中的困惑已有2人参与

我们通常熟悉的坐标系有直线的笛卡尔坐标系，以及各种常用的曲线坐标系，比如二维平面上的极坐标，三维空间的柱坐标和球坐标。现在，有一个问题，是关于度量两点间的距离的。举个例子，假设在二维平面上有两个点，它们之间的（线段）距离，我们都知道可用欧几里德几何的度量来表示。现在，如果我们采用了极坐标系，是否可以用相应的极坐标来度量这个距离呢？反过来，是否可以用笛卡尔坐标（或欧几里德几何）来度量一段圆弧呢，这与“化圆为方”的问题是否有联系呢？
进一步，我们推广到三维空间，比较笛卡尔坐标和球坐标，还是同样的问题，即度量空间两点（线段）距离，球坐标是否好用？我们都知道，球坐标是非欧几何的一个例子，那么这个问题是否可以用欧式几何和非欧几何的独立性来给出“否定”的回答呢，即我们无法用一般曲线坐标来度量直线上的线段，反过来，我们也无法用直线坐标来度量一般的曲线（比如圆弧）？
现在，我们将这个问题应用到物理学中，假设一个粒子作匀速直线运动，通过选定参考原点，我们可以找到一个参考系，在其中，我们的粒子具有角动量，用其（笛卡尔）坐标叉乘其动量，而运动过程中，角动量和动量都守恒（没有力的作用）。将此粒子量子化，粒子用波函数表示（可展开成动量本征态），而角动量算符是坐标叉乘动量算符（坐标偏微分），在考虑到角动量问题时，一般我们会转换坐标系，进入球坐标系，比如在原子问题中。现在疑惑出现了，即上面提到的有关度量问题是否也出现在相应的量子力学中呢？粒子的实际运动是匀速直线运动，却可以展开成角动量表象|l,m>（有一个关于平面波展成球谐函数的瑞利展开公式），并且假设粒子处在某一动量本征态上，它运动的距离却又无法用球坐标来度量，换句话说，就是匀速直线运动能否用圆周运动加上径向运动来合成。这个问题该如何解答呢？如果答案是否定的，这是否暗示了量子力学中关于角动量的理论是有问题的？
希望有人能解答！
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1楼2012-12-27 10:30:23
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Mickeychen

新虫 (初入文坛)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
非欧几何和球坐标有什么关系。。。2维平面下的1个单位圆，既可以用x^2+y^2=1表示，也可以用r=1表示。

[ Last edited by Mickeychen on 2012-12-28 at 00:30 ]
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2楼2012-12-28 00:25:14
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fyl7

铁杆木虫 (正式写手)
夕阳西下: 当然可以，只是在直角坐标系下描述弧长不方便要做转化即x=rcosai+rsinaj.弧长就为l=ra. 2012-12-28 11:23:35
引用回帖:
2楼: Originally posted by Mickeychen at 2012-12-28 00:25:14
非欧几何和球坐标有什么关系。。。2维平面下的1个单位圆，既可以用x^2+y^2=1表示，也可以用r=1表示。

我觉得，球坐标系中那关于球的部分其实就是球面几何，而球面几何就是非欧几何的一个特例。二维平面下的圆的确可以那样表示，但是我的目的是想度量两点间距，比如用笛卡尔坐标中的相关量是否可以度量一段弧，或者反过来，用极坐标中的相关量是否可以度量一个直线段。
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3楼2012-12-28 09:07:02
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walk1997

金虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
1. 两点之间的距离 不管用什么坐标系都可以计算(度量)吧
ds^2= g^ij dx_i dx_J 不同的坐标系 只是相应的g_ij不一样  在笛卡尔坐标中 刚好是单位矩阵
同样 采用什么坐标系和非欧几何没关系吧 因为不管采用什么坐标系 虽然度规(g^ij)不一样 但是曲率应该是一样的  曲率应该是描述空间的平直性与否(印象中是这样)

2：问的是对量子力学中的情况 还是经典的？ 看不太懂
如果是量子力学的 "就是匀速直线运动能否用圆周运动加上径向运动来合成" 平面波由球面波的合成 你上面不是提了么？ 在量子力学里面  不存在所谓的 匀速直线运动吧  -- 只是平面波的波矢是个常矢量 】
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4楼2012-12-28 13:14:24
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fyl7

铁杆木虫 (正式写手)
夕阳西下: 介绍角动量时讲到了球面波是平面波的叠加。 2012-12-29 11:53:12
引用回帖:
4楼: Originally posted by walk1997 at 2012-12-28 13:14:24
1. 两点之间的距离 不管用什么坐标系都可以计算(度量)吧
ds^2= g^ij dx_i dx_J 不同的坐标系 只是相应的g_ij不一样  在笛卡尔坐标中 刚好是单位矩阵
同样 采用什么坐标系和非欧几何没关系吧 因为不管采用什么坐标 ...

这个问题我目前已经想明白了。其实，坦白说，我还是在继续之前的工作，目前已经得到一些模糊的结果，比如匀速直线运动的确存在，而平面波正是描述这种粒子的运动模式的。此外，之所以提出球坐标之类的问题，是因为我在考虑角动量，看看是否也能将其纳入之前的框架下。
总的说来，我现在的观点其实更倾向于“量子力学其实只是尺度缩小了的经典力学”，当然这只是个不严格的比喻。灵感的来源就是我之前工作的一个假设，即“粒子的状态，在不受干扰的情况下，永远都处于某一确定的本征态下”，而在所有的本征态中，动量本征态似乎是最基本的，而粒子的坐标不应该是物理量，只是坐标参数而已。
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5楼2012-12-28 13:42:59
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walk1997

金虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
5楼: Originally posted by fyl7 at 2012-12-28 13:42:59
这个问题我目前已经想明白了。其实，坦白说，我还是在继续之前的工作，目前已经得到一些模糊的结果，比如匀速直线运动的确存在，而平面波正是描述这种粒子的运动模式的。此外，之所以提出球坐标之类的问题，是因为 ...

不赞同上面这些观点 尤其是 "而在所有的本征态中，动量本征态似乎是最基本的"......
动量本征态是比较特殊 但是不能算是最基本吧
为什么说Hilbert空间中的某些态比其他的更基本  不理解
动量本征态的特殊性在于量子化中直角坐标系的相对特殊性
[x,p]=ih (＋-号忘了...) 共轭坐标 动量只在直角坐标下成立....
曲线坐标下 量子化对易关系要改变
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6楼2012-12-28 14:07:55
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fyl7

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by walk1997 at 2012-12-28 14:07:55
不赞同上面这些观点 尤其是 "而在所有的本征态中，动量本征态似乎是最基本的"......
动量本征态是比较特殊 但是不能算是最基本吧
为什么说Hilbert空间中的某些态比其他的更基本  不理解
动量本征态的 ...

怎么说呢，我也不是很确定，只是直觉让我觉得似乎如此。比如，考虑一个氢原子，它是两个粒子的束缚形式。如果，以质心为参考原点，或者近似地以较重的质子为参考原点，此时利用球坐标的确是适合的。不过，如果我们以氢原子外其它任意点为参考原点，那么球坐标系不再好用，而代之以直角坐标系，氢原子的整体运动以及质子与电子的相对运动需同时考虑。那么，根据“物理过程的描述不应依赖参考原点”这种相对性原理，两个参考系给出的物理应该没有什么差别。可是，前者（以质心为参考原点）的波函数都是球坐标系下的波函数，量子态用|n,l,m>表示，而后者的波函数都是平面波及其叠加，量子态用|p_1,p_2,p_3>表示。那么这两种描述该如何来加以比较和理解呢？
很明显，后面的描述事实上是量子场论可以解决的，即两个带电粒子间的电磁相互作用（或近似的库仑力）。我们都知道，量子场论中，动量本征态是恰当的，于是在这种图像下，氢原子实际上是时空中的两条世界线（质子和电子的），正如费曼图所揭示的。如此，通过它们之间的电磁相互作用，各自的能、动量在不断变化着，在非相对论极限下，只有动量是变化着的，相应的角动量也在变（这里的角动量即是坐标叉乘动量）。
有了这种图像，现在我们返回质心系去理解氢原子中的近似电子波函数（用球坐标表示的）。对于基态，没有角动量贡献，径向动量平均值为零，那么基态用后者（即量子场论图像）该如何理解呢？答案是明显的，质子和电子是相对静止的，它们之间的距离作为参数构成径向波函数，而电子相对质子的角度却是任意，但它们必须始终保持一致的动量。类似地，激发态是质子和电子间有相对运动的结果，从而也就有可能具有角动量|l,m>。
总之，原子这样的体系在量子场论的图像下，都是可以解释为多体问题，而量子场论最适合的本征态就是动量本征态。只是具体的细节就复杂得无以复加了。
不知这样的解释是否合理？
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7楼2012-12-28 15:47:53
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walk1997

金虫 (著名写手)
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7楼: Originally posted by fyl7 at 2012-12-28 15:47:53
怎么说呢，我也不是很确定，只是直觉让我觉得似乎如此。比如，考虑一个氢原子，它是两个粒子的束缚形式。如果，以质心为参考原点，或者近似地以较重的质子为参考原点，此时利用球坐标的确是适合的。不过，如果我们 ...

说实话 读了这个 我个人暂时的感觉
上面对量子力学有很多"奇怪"的理解 对量子场论更多不恰当的理解
举个例子： “量子场论最适合的本征态就是动量本征态”
你这些结论 个人感觉都是基于直觉和想象 并不是真实情况
上面这些结论都是怎么得出的？(我想可能基于微扰论吧)
另外 对于氢原子这样的低能体系 量子力学是场论的有效理论
两者之间的有效等价是通过散射问题match得到的
直接处理束缚态的话 场论的方法比量子力学的方法存在更多问题.....
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8楼2012-12-28 18:51:50
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fyl7

铁杆木虫 (正式写手)
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8楼: Originally posted by walk1997 at 2012-12-28 18:51:50
说实话 读了这个 我个人暂时的感觉
上面对量子力学有很多"奇怪"的理解 对量子场论更多不恰当的理解
举个例子： “量子场论最适合的本征态就是动量本征态”
你这些结论 个人感觉都是基于直觉和想象 并 ...

“直觉和想象”这样的描述很贴切，我喜欢，呵呵。
首先得说，我正尝试着摆脱传统的关于量子力学以及量子场论的物理诠释，但数学形式不需要大的改变，换句话说说，就对量子理论的数学表述给出一个更加符合我印象中的物理世界的解释。这些比较大胆的想法当然是基于我先前的那个工作，其中系综诠释站主导地位。至于，这种尝试是否符合真实情况，我不知道，至少是现有的量子力学以及量子场论是否精确地符合实际情况，也没有定论（我是指在物理诠释上）。
其次，我觉得散射是人类设计的用以检验理论的一种有效的实验平台，而实际的物理过程远比散射来的复杂，也就是说量子场论应该包含的范围比量子力学更加广泛，至少原则上如此，不过技术上肯定是很难的。
至于你说的微扰论的问题，由于现在几乎没有很好的非微扰的理论，所以微扰图像还是有效的。
总之，我的头脑里的图像就是，大量的各种各样的粒子相互碰撞或结合成为新的粒子或者分裂为其它粒子，而这些过程都必须满足能量、动量守恒。当然，这是高能的情形，低能时，物理过程要简单许多。
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9楼2012-12-29 09:40:00
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