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fyl7铁杆木虫 (正式写手)
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[交流]
关于直线和曲线坐标系的疑问以及在物理学（量子力学）中的困惑 已有2人参与
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我们通常熟悉的坐标系有直线的笛卡尔坐标系，以及各种常用的曲线坐标系，比如二维平面上的极坐标，三维空间的柱坐标和球坐标。现在，有一个问题，是关于度量两点间的距离的。举个例子，假设在二维平面上有两个点，它们之间的（线段）距离，我们都知道可用欧几里德几何的度量来表示。现在，如果我们采用了极坐标系，是否可以用相应的极坐标来度量这个距离呢？反过来，是否可以用笛卡尔坐标（或欧几里德几何）来度量一段圆弧呢，这与“化圆为方”的问题是否有联系呢？ 进一步，我们推广到三维空间，比较笛卡尔坐标和球坐标，还是同样的问题，即度量空间两点（线段）距离，球坐标是否好用？我们都知道，球坐标是非欧几何的一个例子，那么这个问题是否可以用欧式几何和非欧几何的独立性来给出“否定”的回答呢，即我们无法用一般曲线坐标来度量直线上的线段，反过来，我们也无法用直线坐标来度量一般的曲线（比如圆弧）？ 现在，我们将这个问题应用到物理学中，假设一个粒子作匀速直线运动，通过选定参考原点，我们可以找到一个参考系，在其中，我们的粒子具有角动量，用其（笛卡尔）坐标叉乘其动量，而运动过程中，角动量和动量都守恒（没有力的作用）。将此粒子量子化，粒子用波函数表示（可展开成动量本征态），而角动量算符是坐标叉乘动量算符（坐标偏微分），在考虑到角动量问题时，一般我们会转换坐标系，进入球坐标系，比如在原子问题中。现在疑惑出现了，即上面提到的有关度量问题是否也出现在相应的量子力学中呢？粒子的实际运动是匀速直线运动，却可以展开成角动量表象|l,m>（有一个关于平面波展成球谐函数的瑞利展开公式），并且假设粒子处在某一动量本征态上，它运动的距离却又无法用球坐标来度量，换句话说，就是匀速直线运动能否用圆周运动加上径向运动来合成。这个问题该如何解答呢？如果答案是否定的，这是否暗示了量子力学中关于角动量的理论是有问题的？ 希望有人能解答！  |
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fyl7
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3楼2012-12-28 09:07:02
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1. 两点之间的距离 不管用什么坐标系都可以计算(度量)吧 ds^2= g^ij dx_i dx_J 不同的坐标系 只是相应的g_ij不一样 在笛卡尔坐标中 刚好是单位矩阵 同样 采用什么坐标系和非欧几何没关系吧 因为不管采用什么坐标系 虽然度规(g^ij)不一样 但是曲率应该是一样的 曲率应该是描述空间的平直性与否(印象中是这样) 2：问的是对量子力学中的情况 还是经典的？ 看不太懂 如果是量子力学的 "就是匀速直线运动能否用圆周运动加上径向运动来合成" 平面波由球面波的合成 你上面不是提了么？ 在量子力学里面 不存在所谓的 匀速直线运动吧 -- 只是平面波的波矢是个常矢量 】 |
4楼2012-12-28 13:14:24
fyl7
铁杆木虫 (正式写手)
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夕阳西下: 介绍角动量时讲到了球面波是平面波的叠加。 2012-12-29 11:53:12
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这个问题我目前已经想明白了。其实，坦白说，我还是在继续之前的工作，目前已经得到一些模糊的结果，比如匀速直线运动的确存在，而平面波正是描述这种粒子的运动模式的。此外，之所以提出球坐标之类的问题，是因为我在考虑角动量，看看是否也能将其纳入之前的框架下。 总的说来，我现在的观点其实更倾向于“量子力学其实只是尺度缩小了的经典力学”，当然这只是个不严格的比喻。灵感的来源就是我之前工作的一个假设，即“粒子的状态，在不受干扰的情况下，永远都处于某一确定的本征态下”，而在所有的本征态中，动量本征态似乎是最基本的，而粒子的坐标不应该是物理量，只是坐标参数而已。 |
5楼2012-12-28 13:42:59
