[交流] 关于直线和曲线坐标系的疑问以及在物理学（量子力学）中的困惑 已有2人参与

我们通常熟悉的坐标系有直线的笛卡尔坐标系，以及各种常用的曲线坐标系，比如二维平面上的极坐标，三维空间的柱坐标和球坐标。现在，有一个问题，是关于度量两点间的距离的。举个例子，假设在二维平面上有两个点，它们之间的（线段）距离，我们都知道可用欧几里德几何的度量来表示。现在，如果我们采用了极坐标系，是否可以用相应的极坐标来度量这个距离呢？反过来，是否可以用笛卡尔坐标（或欧几里德几何）来度量一段圆弧呢，这与“化圆为方”的问题是否有联系呢？ 进一步，我们推广到三维空间，比较笛卡尔坐标和球坐标，还是同样的问题，即度量空间两点（线段）距离，球坐标是否好用？我们都知道，球坐标是非欧几何的一个例子，那么这个问题是否可以用欧式几何和非欧几何的独立性来给出“否定”的回答呢，即我们无法用一般曲线坐标来度量直线上的线段，反过来，我们也无法用直线坐标来度量一般的曲线（比如圆弧）？ 现在，我们将这个问题应用到物理学中，假设一个粒子作匀速直线运动，通过选定参考原点，我们可以找到一个参考系，在其中，我们的粒子具有角动量，用其（笛卡尔）坐标叉乘其动量，而运动过程中，角动量和动量都守恒（没有力的作用）。将此粒子量子化，粒子用波函数表示（可展开成动量本征态），而角动量算符是坐标叉乘动量算符（坐标偏微分），在考虑到角动量问题时，一般我们会转换坐标系，进入球坐标系，比如在原子问题中。现在疑惑出现了，即上面提到的有关度量问题是否也出现在相应的量子力学中呢？粒子的实际运动是匀速直线运动，却可以展开成角动量表象|l,m>（有一个关于平面波展成球谐函数的瑞利展开公式），并且假设粒子处在某一动量本征态上，它运动的距离却又无法用球坐标来度量，换句话说，就是匀速直线运动能否用圆周运动加上径向运动来合成。这个问题该如何解答呢？如果答案是否定的，这是否暗示了量子力学中关于角动量的理论是有问题的？ 希望有人能解答！

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