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到时候

银虫 (小有名气)

[交流] 关于线性代数 已有4人参与

有一个题目
A为一个秩为2的3阶方阵阵,且有A2-5A+6E=O,求A的特征值。
我的答案是0,2,3.也就是说我有一个结论
   A,B均为不为零的方阵,若AB=O,那么有|A|=|B|
是正确的吗?,若是怎么证明?
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小楼一夜听春雨
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xuyx_78

金虫 (小有名气)

★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包,谢谢回帖
soliton923(金币+2): 谢谢参与讨论~~~ 2012-01-02 21:02:15
若A与B至少有一个可逆,不妨设A可逆,则由AB=O立即得B=O.因此由已知A,B不为零矩阵,立即可知A,B均不可逆,从而|A|=|B|=0.
2楼2012-01-02 14:39:44
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wjchen

至尊木虫 (职业作家)

★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包,谢谢回帖
soliton923(金币+2): 谢谢参与讨论~~~ 2012-01-02 21:02:21
因为AB=O, 所以R(A)+R(B)<=n, 而A,B都是非零的,R(A)>=1,R(B)>=1,
从而R(A)
3楼2012-01-02 20:00:49
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到时候

银虫 (小有名气)

引用回帖:
: Originally posted by wjchen at 2012-01-02 20:00:49:
因为AB=O, 所以R(A)+R(B)<=n, 而A,B都是非零的,R(A)>=1,R(B)>=1,
从而R(A)<n , R(B)<n, 故。。。。。。。。。。。。

为何从AB=O可推出 R(A)+B(B)<=n
小楼一夜听春雨
4楼2012-01-02 21:19:05
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包,谢谢回帖
soliton923(金币+1): 谢谢参与讨论~~~ 2012-01-02 22:32:45
"A为一个秩为2的3阶方阵阵,且有A2-5A+6E=O,求A的特征值。"
--由此条件推出 x^2-5x+6是A的零化多项式,又 x^2-5x+6=(x-2)(x-3)
且A的秩为2,所以A的特征值情况分为三种情况:
1)0,2,2
2)0,2,3
3)0,3,3
具体是哪种情形,还需其他条件
5楼2012-01-02 21:24:08
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beylisa

木虫 (小有名气)


小木虫(金币+0.5):给个红包,谢谢回帖
你这个题有问题,若满足你所说的式子, A^2-5A+6E=0的话,它的秩不可能是2,因为若满足这个式子,它必然是可逆的啊
6楼2012-01-02 21:27:35
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到时候

银虫 (小有名气)

引用回帖:
: Originally posted by math2000 at 2012-01-02 21:24:08:
"A为一个秩为2的3阶方阵阵,且有A2-5A+6E=O,求A的特征值。"
--由此条件推出 x^2-5x+6是A的零化多项式,又 x^2-5x+6=(x-2)(x-3)
且A的秩为2,所以A的特征值情况分为三种情况:
1)0,2,2
2)0 ...

由A²-5A+6E=0可推出(A-2E)(A-3E)=0,则有|A—2E||A—3E|=0,又由于秩为2,那么A—2E,A—3E是非零方阵,那么有|A-2E|=|B-3E|=0,那么·2,3应该都是他的特征值
小楼一夜听春雨
7楼2012-01-02 21:38:07
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到时候

银虫 (小有名气)

引用回帖:
: Originally posted by beylisa at 2012-01-02 21:27:35:
你这个题有问题,若满足你所说的式子, A^2-5A+6E=0的话,它的秩不可能是2,因为若满足这个式子,它必然是可逆的啊

我也发现了,题目没选好,我说这个体制是举个例子,我是想说:若已知方阵A B,A,B非零由AB=O,可否推出|A||B|=O?
小楼一夜听春雨
8楼2012-01-02 21:44:22
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

A=[0,0,0;0,2,0;0,0,2] 或
A=[0,0,0;0,3,0;0,0,3]

A=[0,0,0;0,2,0;0,0,3]
你去算算!
LZ线代没有学好!!
9楼2012-01-02 21:46:14
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到时候

银虫 (小有名气)

引用回帖:
: Originally posted by math2000 at 2012-01-02 21:46:14:
A=[0,0,0;0,2,0;0,0,2] 或
A=[0,0,0;0,3,0;0,0,3]

A=[0,0,0;0,2,0;0,0,3]
你去算算!
LZ线代没有学好!!

其实我的举例有问题因为若 A^2-5A+6E=O,应该有A(E-5A)/6=E,即A的秩不可能为2.我发帖的目的是想问,由非零方阵A,B,满足AB=O,能否推出|A|=|B|=0?不要看那个题目
小楼一夜听春雨
10楼2012-01-02 22:00:38
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