引用回帖:

8楼: Originally posted by i维数 at 2016-08-19 14:43:42
真是汗颜呐。。。我的计算都是在软件的辅助下完成的。。反倒是大神你的方法真是绝妙！这构造组合模型的方法太难想到啦，大神你是怎么想到这样证明的？...

先更正一下错误， 当m=1, 应该是[latex]\sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2}=\binom{n+2}{3}[/latex]

@i维数 其实你走的才是正路。假如 Edstrayer 版主大神布置了考题， 你早就给出答案交卷了，我还在网上七搜八搜看哪里有答案或提示什么的

当m=1时，它是你所提到的 朱世杰 Chu identity 的特例而已。我去网上搜了Chu identity的组合说明 (个人认为组合证明不贴切，仅仅是说明而已，不牵扯计算)， 几乎是照猫画虎的给出了上面的答案

另外， 也不要神话组合说明，在代数学家眼中，是最显然不过的事实而已。不信，你看另外一个证明：
[latex]{\binom{N+t}{t}}^m=\sum_{j=0}^{N} \left({\binom{j+t}{t}}^m-{\binom{j-1+t}{t}}^m\right)[/latex]
这一点花样都没有吧。

那么继续， 它又等于
[latex]\sum_{j=0}^N {\binom{j+t-1}{t-1}}^m\left((1+\frac{j}{t})^m-(\frac{j}{t})^m\right)[/latex]

现在取 N=n-1, t=3, m=3, k=j+1, 这就是上面m=3时的那个恒等式，或者就是 @Edstrayer 版主大神 布置的练习题。

这也是本版许多大牛最喜欢的证明方式： “证明：显然”。 你如果看了上面的过程，是否觉得显然呢
，

求导计算，降低阶次