引用回帖:

8楼: Originally posted by tigou at 2016-01-08 09:50:19
如果楼主采纳我的证明思路，我想借此机会为化变论打个广告。分析数论是一种粗线条的思路，与质数有关的问题的精髓则在于其中的精细结构，这种精细结构往往与特定的化变规则有关。我所知道的大部分世界级数学难题，都 ...

令
[latex]\mathbb{N}_{[2}=\mathbb{N}-\{0,1\}[/latex]
[latex]f:\mathbb{N}_{[2}\to 2^{\mathbb{N}_{[2}},f(n)=\{n\times m:m\in\mathbb{N}_{[2}\}[/latex]
则全体合数就是泛集
[latex]f^{\cup}(\mathbb{N}_{[2})[/latex]
全体质数就是漏网之鱼
[latex]\mathbb{N}_{[2}-f^{\cup}(\mathbb{N}_{[2})[/latex]
，

引用回帖:

6楼: Originally posted by tigou at 2016-01-08 08:54:22
目测利用质数定理可证。基本思路如下：
令
P_n
为前n个质数之积，例如：
P_1=2，P_2=2\times 3=6 .
易知
P_n\geq 2^n
同时，根据质数定理，小于
P_n
的质数个数
\pi(P_n)=\frac{P_n}{\ln(P_n)},n\to  ...

发现一个严重的错误
[latex]\psi(P_n)=\pi(P_n)-n[/latex]
这一步不成立。需要更深入的讨论才能证明楼主的问题。

引用回帖:

7楼: Originally posted by tigou at 2016-01-08 09:04:25
更正：
\psi(P_n)=\frac{P_n}{\ln(P_n)}-n<\frac{P_n}{\ln(P_n)},P_n\to+\infty.

论坛如果增加发帖及回复前的预览功能会更好一些，有助于减少输入错误。谢谢。...

这一步的计算是错误的，

利用1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+...发散，我们可以证明
（1-1/2）*（1-1/3）*（1-1/5）*（1-1/7）*（1-1/11）*（1-1/13）*...收敛于零，从而下极限为零。
手机码字真蛋疼

（上接二楼）
注1 易见对于任意素数[latex]p\geqslant 2[/latex]，都有：

[latex]\frac{\varphi(p^{\alpha})}{p^{\alpha}}=1-\frac{1}{p}[/latex]

所以[latex]\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\varphi(n)}{n}[/latex]不存在，但是我们有：

[latex]\lim\limits_{p\to+\infty}\frac{\varphi(p)}{p}=\lim\limits_{p\to+\infty}\frac{p-1}{p}=1[/latex]

注意到[latex]\varphi(n)\leqslant n[/latex]，因此立即得到：

[latex]\limsup\limits_{n\to+\infty}\frac{\varphi(n)}{n}=1[/latex]

（下转16楼）

1/2+1/3+1/5+... 的发散性容易根据素数定理估算证明。

注:无限乘积的收敛性等价于对应级数的发散性

咋没人顶我呀，哈哈

（上接13楼）
注2 设

[latex]A=\left\{\frac{\varphi(n)}{n}\left|\right.n\in\mathbb{N}^{+}\right\}[/latex]

[latex]A'=\{x\in[0,1]|\text{x is the limit point of A}\}[/latex]

则由注1知道，对任意素数[latex]p\geqslant 2[/latex]，都有[latex]1-\frac{1}{p}\in A',\quad 1\in A'[/latex]，又由一楼命题知道[latex]0\in A'[/latex]，从而就有[latex]1\in A'',\quad 0\in A''[/latex]（这里[latex]A''[/latex]表示[latex]A'[/latex]的导集），那么，还有哪些[0,1]区间中的数属于[latex]A'[/latex]？换句话讲，[latex]A'[/latex]的结构如何？是否一定有[latex]A'\subseteq[0,1]\cap\mathbb{Q}[/latex]？或者[latex]\frac{2}{p}\not\in A'[/latex]（[latex]p\geqslant 5[/latex]是素数）？……等等，诸如此类的问题，都是值得我们下一步加以考虑的问题。