一、Euler函数[latex]\varphi(n)[/latex]的定义：
Euler函数[latex]\varphi(n)[/latex]是一个数论函数，它的定义域是正整数集[latex]\mathbb{N^{+}}[/latex]，[latex]\varphi(n)[/latex]定义为：在[latex]1,2,\cdots,n[/latex]中与n互素的正整数的个数，记做[latex]\varphi(n)[/latex]。用符号表示为：

[latex]\varphi(n)=\overline{\overline{\{k\in\{1,2,\cdots,n\}|(n,k)=1\}}}[/latex]

[latex]\varphi(1)=1,\varphi(2)=1,\varphi(3)=2,\varphi(4)=2,\varphi(5)=4,\varphi(6)=2,\varphi(7)=6,\varphi(8)=4,\varphi(9)=6,\varphi(10)=4,\cdots[/latex]

[latex]\varphi(p)=p-1,\varphi(p^{\alpha})=p^{\alpha}-p^{\alpha-1}[/latex]

帮顶

没有学过这个

目测利用质数定理可证。基本思路如下：
令
[latex] P_n[/latex]
为前n个质数之积，例如：
[latex] P_1=2，P_2=2\times 3=6 .[/latex]
易知
[latex] P_n\geq 2^n[/latex]
同时，根据质数定理，小于
[latex] P_n[/latex]
的质数个数
[latex]\pi(P_n)=\frac{P_n}{\ln(P_n)},n\to \infty[/latex]
故有
[latex]\psi(P_n)=\frac{P_n}{\ln(P_n)}-n\ge \frac{P_n}{\ln(P_n)},n\to \infty .[/latex]
由此可得
[latex]\lim_{P_n\to+\infty}\frac{\psi(P_n)}{P_n}=0 .[/latex]
故
[latex]\liminf_{n\to+\infty}\frac{\psi(n)}{n}=0 .[/latex]

如果楼主采纳我的证明思路，我想借此机会为化变论打个广告。分析数论是一种粗线条的思路，与质数有关的问题的精髓则在于其中的精细结构，这种精细结构往往与特定的化变规则有关。我所知道的大部分世界级数学难题，都可以用化变论重新表述，并且与特定化变的精细结构有关，特别地与某系初始集的稳定性或者泛集的覆盖性有关。

关于质数，用化变论思路可做如下刻画：
令
[latex]\mathbb{N}_{[2}=\mathbb{N}-\{0,1\} ,\\
f:\mathbb{N}_{[2}\to P(\mathbb{N}_{[2}),\\
f(n)={n\times\m|m\in\mathbb{N}_{[2}} .[/latex]
则所有的合数就是[latex]\mathbb{N}_{[2}[/latex]对化变[latex]f^{\cup}[/latex]的一个泛集[latex]f^{\cup}(\mathbb{N}_{[2}).[/latex]这个泛集没有覆盖住其初始集（即大于1的全体自然数），漏网之鱼就是质数。哥德巴赫猜想和考拉兹猜想表明，某些类型的泛集具有覆盖性；四色定理表明，某些类型的初始集具有稳定性；黎曼猜想表明，某些类型的泛集只能覆盖住狭长地带。所有这些性质，都取决于特定化变的特定的精细结构，