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Edstrayer

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[交流] 关于Euler函数的一个性质已有1人参与

设 $\varphi(n)$ 是Euler函数，试证：

$\liminf\limits_{n\to+\infty}\frac{\varphi(n)}{n}=0$

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1楼 2016-01-07 02:25:18

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一、Euler函数 $\varphi(n)$ 的定义：
Euler函数 $\varphi(n)$ 是一个数论函数，它的定义域是正整数集 $\mathbb{N^{+}}$ ， $\varphi(n)$ 定义为：在 $1,2,\cdots,n$ 中与n互素的正整数的个数，记做 $\varphi(n)$ 。用符号表示为：

$\varphi(n)=\overline{\overline{\{k\in\{1,2,\cdots,n\}|(n,k)=1\}}}$

根据上述定义立即可以得到：

$\varphi(1)=1,\varphi(2)=1,\varphi(3)=2,\varphi(4)=2,\varphi(5)=4,\varphi(6)=2,\varphi(7)=6,\varphi(8)=4,\varphi(9)=6,\varphi(10)=4,\cdots$

一般地，由定义立即可以得到，对于任意素数 $p\geqslant 2$ ，有如下的计算公式：

$\varphi(p)=p-1,\varphi(p^{\alpha})=p^{\alpha}-p^{\alpha-1}$

（下转13楼）

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2楼2016-01-08 02:08:20

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Edstrayer: 金币+3, right 2016-01-09 00:47:50

利用1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+...发散，我们可以证明
（1-1/2）*（1-1/3）*（1-1/5）*（1-1/7）*（1-1/11）*（1-1/13）*...收敛于零，从而下极限为零。
手机码字真蛋疼

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12楼2016-01-09 00:37:44

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★
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1/2+1/3+1/5+... 的发散性容易根据素数定理估算证明。

注:无限乘积的收敛性等价于对应级数的发散性

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14楼2016-01-09 00:47:17

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3楼2016-01-08 02:43:54

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tigou

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4楼2016-01-08 07:37:08

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5楼2016-01-08 08:52:43

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Edstrayer: 金币+7, Latex回复 2016-01-09 00:23:16

目测利用质数定理可证。基本思路如下：
令
$P_n$
为前n个质数之积，例如：
$P_1=2，P_2=2\times 3=6 .$
易知
$P_n\geq 2^n$
同时，根据质数定理，小于
$P_n$
的质数个数
$\pi(P_n)=\frac{P_n}{\ln(P_n)},n\to \infty$
故有
$\psi(P_n)=\frac{P_n}{\ln(P_n)}-n\ge \frac{P_n}{\ln(P_n)},n\to \infty .$
由此可得
$\lim_{P_n\to+\infty}\frac{\psi(P_n)}{P_n}=0 .$
故
$\liminf_{n\to+\infty}\frac{\psi(n)}{n}=0 .$

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6楼2016-01-08 08:54:22

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引用回帖:

6楼: Originally posted by tigou at 2016-01-08 08:54:22
目测利用质数定理可证。基本思路如下：
令
P_n
为前n个质数之积，例如：
P_1=2，P_2=2\times 3=6 .
易知
P_n\geq 2^n
同时，根据质数定理，小于
P_n
的质数个数
\pi(P_n)=\frac{P_n}{\ln(P_n)},n\to ...

更正：
$\psi(P_n)=\frac{P_n}{\ln(P_n)}-n<\frac{P_n}{\ln(P_n)},P_n\to+\infty.$

论坛如果增加发帖及回复前的预览功能会更好一些，有助于减少输入错误。谢谢。

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7楼2016-01-08 09:04:25

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如果楼主采纳我的证明思路，我想借此机会为化变论打个广告。分析数论是一种粗线条的思路，与质数有关的问题的精髓则在于其中的精细结构，这种精细结构往往与特定的化变规则有关。我所知道的大部分世界级数学难题，都可以用化变论重新表述，并且与特定化变的精细结构有关，特别地与某系初始集的稳定性或者泛集的覆盖性有关。

关于质数，用化变论思路可做如下刻画：
令
$\mathbb{N}_{[2}=\mathbb{N}-\{0,1\} ,\\<br /> f:\mathbb{N}_{[2}\to P(\mathbb{N}_{[2}),\\<br /> f(n)={n\times\m|m\in\mathbb{N}_{[2}} .$
则所有的合数就是 $\mathbb{N}_{[2}$ 对化变 $f^{\cup}$ 的一个泛集 $f^{\cup}(\mathbb{N}_{[2}).$ 这个泛集没有覆盖住其初始集（即大于1的全体自然数），漏网之鱼就是质数。哥德巴赫猜想和考拉兹猜想表明，某些类型的泛集具有覆盖性；四色定理表明，某些类型的初始集具有稳定性；黎曼猜想表明，某些类型的泛集只能覆盖住狭长地带。所有这些性质，都取决于特定化变的特定的精细结构。

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8楼2016-01-08 09:50:19

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引用回帖:

8楼: Originally posted by tigou at 2016-01-08 09:50:19
如果楼主采纳我的证明思路，我想借此机会为化变论打个广告。分析数论是一种粗线条的思路，与质数有关的问题的精髓则在于其中的精细结构，这种精细结构往往与特定的化变规则有关。我所知道的大部分世界级数学难题，都 ...

令
$\mathbb{N}_{[2}=\mathbb{N}-\{0,1\}$
$f:\mathbb{N}_{[2}\to 2^{\mathbb{N}_{[2}},f(n)=\{n\times m:m\in\mathbb{N}_{[2}\}$
则全体合数就是泛集
$f^{\cup}(\mathbb{N}_{[2})$
全体质数就是漏网之鱼
$\mathbb{N}_{[2}-f^{\cup}(\mathbb{N}_{[2})$

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9楼2016-01-08 10:01:33

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引用回帖:

发现一个严重的错误

$\psi(P_n)=\pi(P_n)-n$
这一步不成立。需要更深入的讨论才能证明楼主的问题。

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10楼2016-01-08 11:23:38

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