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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » 关于Euler函数的一个性质
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

[交流] 关于Euler函数的一个性质 已有1人参与

设是Euler函数，试证：
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
1楼 2016-01-07 02:25:18
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
一、Euler函数的定义：
Euler函数是一个数论函数，它的定义域是正整数集，定义为：在中与n互素的正整数的个数，记做。用符号表示为：


根据上述定义立即可以得到：


一般地，由定义立即可以得到，对于任意素数，有如下的计算公式：


（下转13楼）
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
2楼2016-01-08 02:08:20
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yjb7758521

新虫 (小有名气)
★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+3, right 2016-01-09 00:47:50
利用1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+...发散，我们可以证明
（1-1/2）*（1-1/3）*（1-1/5）*（1-1/7）*（1-1/11）*（1-1/13）*...收敛于零，从而下极限为零。
手机码字真蛋疼

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12楼2016-01-09 00:37:44
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yjb7758521

新虫 (小有名气)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
1/2+1/3+1/5+... 的发散性容易根据素数定理估算证明。

注:无限乘积的收敛性等价于对应级数的发散性

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14楼2016-01-09 00:47:17
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普通回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
3楼2016-01-08 02:43:54
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tigou

木虫 (正式写手)
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0/0的意义是所有数的集合
4楼2016-01-08 07:37:08
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getengqing

木虫 (正式写手)
没有学过这个
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一起交流学习/分享优秀资源
5楼2016-01-08 08:52:43
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tigou

木虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
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Edstrayer: 金币+7, Latex回复 2016-01-09 00:23:16
目测利用质数定理可证。基本思路如下：
令

为前n个质数之积，例如：

易知

同时，根据质数定理，小于

的质数个数

故有

由此可得

故
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0/0的意义是所有数的集合
6楼2016-01-08 08:54:22
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tigou

木虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
6楼: Originally posted by tigou at 2016-01-08 08:54:22
目测利用质数定理可证。基本思路如下：
令
P_n
为前n个质数之积，例如：
P_1=2，P_2=2\times 3=6 .
易知
P_n\geq 2^n
同时，根据质数定理，小于
P_n
的质数个数
\pi(P_n)=\frac{P_n}{\ln(P_n)},n\to  ...

更正：


论坛如果增加发帖及回复前的预览功能会更好一些，有助于减少输入错误。谢谢。
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0/0的意义是所有数的集合
7楼2016-01-08 09:04:25
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tigou

木虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
如果楼主采纳我的证明思路，我想借此机会为化变论打个广告。分析数论是一种粗线条的思路，与质数有关的问题的精髓则在于其中的精细结构，这种精细结构往往与特定的化变规则有关。我所知道的大部分世界级数学难题，都可以用化变论重新表述，并且与特定化变的精细结构有关，特别地与某系初始集的稳定性或者泛集的覆盖性有关。

关于质数，用化变论思路可做如下刻画：
令

则所有的合数就是对化变的一个泛集这个泛集没有覆盖住其初始集（即大于1的全体自然数），漏网之鱼就是质数。哥德巴赫猜想和考拉兹猜想表明，某些类型的泛集具有覆盖性；四色定理表明，某些类型的初始集具有稳定性；黎曼猜想表明，某些类型的泛集只能覆盖住狭长地带。所有这些性质，都取决于特定化变的特定的精细结构。
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0/0的意义是所有数的集合
8楼2016-01-08 09:50:19
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tigou

木虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
8楼: Originally posted by tigou at 2016-01-08 09:50:19
如果楼主采纳我的证明思路，我想借此机会为化变论打个广告。分析数论是一种粗线条的思路，与质数有关的问题的精髓则在于其中的精细结构，这种精细结构往往与特定的化变规则有关。我所知道的大部分世界级数学难题，都 ...

令


则全体合数就是泛集

全体质数就是漏网之鱼
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0/0的意义是所有数的集合
9楼2016-01-08 10:01:33
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tigou

木虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
6楼: Originally posted by tigou at 2016-01-08 08:54:22
目测利用质数定理可证。基本思路如下：
令
P_n
为前n个质数之积，例如：
P_1=2，P_2=2\times 3=6 .
易知
P_n\geq 2^n
同时，根据质数定理，小于
P_n
的质数个数
\pi(P_n)=\frac{P_n}{\ln(P_n)},n\to  ...

发现一个严重的错误

这一步不成立。需要更深入的讨论才能证明楼主的问题。
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0/0的意义是所有数的集合
10楼2016-01-08 11:23:38
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