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Edstrayer

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[交流] 关于Euler函数的一个性质已有1人参与

设 $\varphi(n)$ 是Euler函数，试证：

$\liminf\limits_{n\to+\infty}\frac{\varphi(n)}{n}=0$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼 2016-01-07 02:25:18

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tigou

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Edstrayer: 金币+7, Latex回复 2016-01-09 00:23:16

目测利用质数定理可证。基本思路如下：
令
$P_n$
为前n个质数之积，例如：
$P_1=2，P_2=2\times 3=6 .$
易知
$P_n\geq 2^n$
同时，根据质数定理，小于
$P_n$
的质数个数
$\pi(P_n)=\frac{P_n}{\ln(P_n)},n\to \infty$
故有
$\psi(P_n)=\frac{P_n}{\ln(P_n)}-n\ge \frac{P_n}{\ln(P_n)},n\to \infty .$
由此可得
$\lim_{P_n\to+\infty}\frac{\psi(P_n)}{P_n}=0 .$
故
$\liminf_{n\to+\infty}\frac{\psi(n)}{n}=0 .$

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6楼2016-01-08 08:54:22

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Edstrayer

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一、Euler函数 $\varphi(n)$ 的定义：
Euler函数 $\varphi(n)$ 是一个数论函数，它的定义域是正整数集 $\mathbb{N^{+}}$ ， $\varphi(n)$ 定义为：在 $1,2,\cdots,n$ 中与n互素的正整数的个数，记做 $\varphi(n)$ 。用符号表示为：

$\varphi(n)=\overline{\overline{\{k\in\{1,2,\cdots,n\}|(n,k)=1\}}}$

根据上述定义立即可以得到：

$\varphi(1)=1,\varphi(2)=1,\varphi(3)=2,\varphi(4)=2,\varphi(5)=4,\varphi(6)=2,\varphi(7)=6,\varphi(8)=4,\varphi(9)=6,\varphi(10)=4,\cdots$

一般地，由定义立即可以得到，对于任意素数 $p\geqslant 2$ ，有如下的计算公式：

$\varphi(p)=p-1,\varphi(p^{\alpha})=p^{\alpha}-p^{\alpha-1}$

（下转13楼）

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2楼2016-01-08 02:08:20

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4楼2016-01-08 07:37:08

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getengqing

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5楼2016-01-08 08:52:43

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