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hylpy专家顾问 (知名作家)
唵嘛呢叭咪吽
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[转载]一个老贴:一个局外人看北大数学考研初试及数学分析学习方法--SCIbird 已有11人参与
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一个局外人看北大数学考研初试及数学分析学习方法--SCIbird 我印象中这篇文章是SCIbird在老论坛关闭，新论坛开始运行时发在老论坛上的 随着老论坛的关闭这篇文章也看不到了 很多人问我怎么考北大，我基本向他们推荐这篇文章。 为了省去一些麻烦，重新发在此处，希望SCIbird不要介意（希望我没有拼错名字） 一个局外人看北大数学考研初试 论坛上一些朋友私底下给我发过消息，其中不乏有报考北大的朋友，请我介绍下自己学习数学分析的经验。这大概与我在论坛上发过08北大数学分析和高等代数and解析几何的解答有关吧，加之我还算回答了一些问题直接或间接帮助过一些人吧。 但一个人的精力总是有限的，身在研二本身又不是数学系的我现在是没有太多的时间来回答所有人的问题，所有只能回绝一些热心朋友周末想向我咨询的请求。这大概就是生活吧。 另一方面，考虑到受之与鱼，不如授之与渔这个道理。我决定把自己的学习经验和一些心得拿出来与大家分享，这样可能会有更多的人从中受益。我打算写的细致一些，以免使人感到过于官腔和空泛。计划分两贴，一帖短的介绍下我对北大初试备考的一些看法， 另一帖长的，详细介绍下我的学习经验和一些心得，将以连载的方式陆续登出。下面是第一篇 北大初试怎样备考，我之所见。 这篇文章绝对是论坛上第一篇非亲身经历北大数院初试考试的人写的经验。看多了亲身过来人的现身说法，再看看我这外行人的 文章，可能会有其他的收获。其实我关注北大近4年试题（论坛上都有了）有一年了吧，除去没亲身考过外，也算半个资深人士了。 加之确实按三小时一科自己模考过08北大真题，成绩如下： 政治应该有60分，英语约60分，4月份做的数分，大约是120分，最近十一期间做的高代和解几，约120分。 政治 英语 数学分析 高等代数与解析几何 60 60 120 120 考虑到实战环境（紧张）可能影响发挥，因此减去10分。这样350分，应该比较符合实际情况。所以你可以把我视作08年考北大基础数学方向的350分等级水平选手写的经验谈。所以这篇文章适合350以下的考北大数院的朋友们看的。 好！言归正传，先从思想上解决一个问题。 （1）“考北大难不难？” 很多人问过这个问题，有人说难，也有人说不难。事实上，在清华北大你会发现这样的现象，考上的人尤其是第一次就考上的，他们 多半说“不难”。而没考上的，多半会说“难”。这其实是一个“小马过河”问题。你不能说某个人观点对，其他人观点错。难本来 就是相对的，而咨询者的困难之处在于无法找到一把与自己相近的“尺子”。 对于此问题，按本人观点，你可以从如下方面考虑自己（适合基础数学方向） 1. 你是否真的热爱数学，而不是仅仅为了就业。如果你不真的喜欢数学，那么我建议你不要报考北大数院； 2. 你是否有一定的自我控制力和毅力。数学到了研究生水平数学已经不仅仅是技巧的事了，搞数学不是意志薄弱者的游戏； 3. 是否擅长数学。不用要求自己数学天赋有多高，但至少要相对其他科目有一定优势； 4. 论坛上不是有北大真题吗，试做一下。当时受打击不要紧，关键要判断出自己是否有潜力，比如我现在做不出，但6个月后有信心做出。那就大胆的报，人的水平总是慢慢提高的，高手也不是天生的。 （2）北大的专业课难吗？与XX大学的题相比难多少？ 说北大的题难，那谢惠民的《数学分析习题课讲义》里类似难度的题一堆，对于做过那套书的牛人可能就没啥感觉了，都一样。说简单吧，看专业课成绩惨不忍睹。 在这里讲一个真事，大概是07年5月吧，我在论坛上第一次看到07北大数分题，当时有五道题读不懂，那套题看起来很难。加之当年论坛上一堆考砸了的人一忽悠，类似于“今年的题太难了，我连及格都困难”之类的话非常多。于是我对07北大的题惊为天书，赶紧下载下来，仔细保存供奉起来。不过现在看来，似乎也没那么难。这里不是说SCIbird耍大牌儿，显示自己有水平，是说：只要努力，人总是变化的，事隔一年可能会有实质性的变化。我相信第二年考上北大的人群中肯定有这样想的人“考北大也不难啊，我当年怎么就……”。 要说08年北大专业课哪个更难，我觉得高代更难，因为我做08北大高代题比做数分题费尽多了！（考数院的很多人看了估计会吐血吧） 这也说明难度还与自己擅长的内容有关，因为我本人比较擅长微积分，所以做北大数分比高代轻松（虽然当事人一致认为08北大数分比高代难）。如果你运气比较背，考的都是你不擅长的，那你就惨了。因此，全面提升自己才是硬道理！ 至于北大专业课的难度，高代不敢说，但就数分来讲比论坛上其他高校的数分题难多了。但难多少就不好说，比如我做过08北大的题，但不一定做过XX大学的题，即使都做过也不好概括难度差距。2.5倍？怎么算出来的？你只知道，没两下子不敢报北大，即使这样，专业课考的也很惨，由此大概对其难度有个印象。 （3）北大初试如何复习数分和高代？（只针对350分以下级别的选手提出参考建议） 考研时间还是比较紧张的，对自己要有规划。首先是装备，想学好一门课不能只有一本教材。至于教材，高手之间的意见还不统一，更何况一般人。我个人比较喜欢张筑生老师的《数学分析新讲》和南开李成章编著的《数学分析》。前者语言通俗，富有启发性，我在论坛发的试题解答中不少思想来自此书。新讲尤其收录了一些经典定理（如不动点定理）的证明，值得揣摩。但新讲的单元微积分部分写的单薄了些，而南开那本书上正好弥补了这一块内容。这里再说点考研之外的话，想提高数分水平一定要啃一本名著的，我个人推荐菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》，一句话，这是一本集古典微积分之大成之作的绝对牛书！当然如果时间紧张的话，还是以教材为主。有些人不爱看定理的证明，认为考试基本不会考的。这种看法有片面性，诚然，考定理的几率很小。但有这种可能，即某道题的证明方法和某个定理本质上是一样的，或者有相似之处。比如我解决08北大数分最后一题的灵感来自新讲中对Riemann引理的证明，在那个定理证明思路的基础上稍微变通一下就把北大这题OK了！学会从相似之中看出相似，这是数学中的一门功夫。 第二篇 再次声明:下面的建议是针对350级别以下的考生,不对高分选手做要求) 在说说练习册吧. 事实上,练习册是你上战场的武器,其对胜负的影响还是很大的. 目前数分的练习册很多,但我个人认为报考北大的人,有两本练习册应该必看.一本是大家非常熟悉的裴礼文的<数学分析典型问题与方法>(第二版), 另一本是谢惠民等合编的<数学分析习题课讲义>.这两本书都是高教出版的,应该容易找到.下面说下推荐理由: 裴礼文的书写的算是很详细的习题集了,尤其里面也收录了不少一般教材看不到的定理.比如08北大数分中有两个题用到了比较深的定理(深是相对的),一个是第7题的积分号下取极限定理,另一个是第9题的Riemann-Lebesgue引理.坦白说,这两个定理裴礼文的书上都有,而且一旦你知道了这个定理,那第7,9题立刻降低为中档题,剩下的事就容易多了.说到这里再多说几句,如果你不知道上面的两个定理,那么原题难度将急剧增加,如果你之前没看过证明而现推的话,不论时间还是难度都将使你举步为艰.这告诉了我们一件事,考北大不仅仅是技术(或技巧)的事,你还要见多识广(多知道些定理),毕竟北大对考生水平要求很高(看试题难度就看出来了) .无独有偶,08北大高代第7题正交变换那题,需要用到正交变换在实数域上的标准型,知道了标准型再观察到其准对角线上的二阶矩阵几何意义是旋转,那么本题基本就OK了!但若你不知道正交变换在实数域上的标准型定理(有些书上确实没有),那么我觉得就比较悬了.至少我目前没看到其他方法.自己大致考察了下北大07,08北大的数分试题,我的结论是其考察的知识范围没有超出裴礼文的书. 事实上,论坛许多考上了数院的人介绍自己复习资料时也提到了这本书.也许有的朋友说了"裴礼文的书我看了很多遍了,可做北大的题还是不会".这实际涉及到学习数学的方法问题, 有关内容将在第三篇论述. 裴礼文的书写的详细,性价比高. 如果觉得不够,我再推荐一本数分习题集中的九阳神功------<数学分析习题课讲义>(谢惠民等合编).此书给我有相见恨晚的感觉. 事实上今年4月份我在做08北大数分真题时,手里只有裴礼文的书(两月前刚在校内买的二手书).后来与zhaobin交流时,他向我推荐<数学分析习题课讲义>. 好在清华的书还算很全,我很快在书店买到了.买完后回到寝室仔细翻看,一种相见恨晚的感觉无形中飘出来.我甚至觉的,如果我早一年看到此书,我的数分水平会比现在高不少. 说到<数学分析习题课讲义>(以下简称讲义)这本书,网上有许多负面评价,诸如:没答案,巨难无比,课后题太bt了,提示太抽象了. 那只是从应试角度来评价的,有失公平. 关键在于你如何看待这本书, 我个人看法是这样的. 1.首先我把她当做一本数分字典.事实上该书收录了数分中许多深刻的定理,诸如Riemann-Lebesgue引理这样的定理在此书中很多的.我们在解决问题时可能会遇到这样的情况,在证明某个结论R时要用到结论P(你只是感觉P应该对,但不知道有没有这个定理or推论),你被P卡住了.于是你可以查查"讲义",没准就能找到你需要的结论.然后由P推出R就自然了. 2.我之所以推崇这本书是因为她的参考书太NB了!很少有习题集列出参考文献的,更难得的是参考文献是很NB的书(但由于年代或其它的原因,不容易找到).谢惠民的书收集了这些书的精华部分(当然不可能是全部),整理出了"讲义",可以说是功德无量. 3.关于答案. 有一个很有趣的现象,不少顶尖高手or牛人一般都不喜欢看答案,他们更喜欢自己写答案.在一些人看来,一旦你未经思考就看到答案,那么这题就没意思了."讲义"也许更对牛人胃口,实际上北大的CMO金牌得主做"讲义"里的题也头大.但可能因为牛人都喜欢挑战吧,他们反到更推崇此书. 我个人觉得谢的书没答案也不是坏事,很明显谢的书并不是给考研的人写的(因为很少有学校的考题像北大这么难的).此书是用来提高自身数分水平的,我称之为数分中的九阳神功.既然是神功,那不是朝夕之间就能练成的.像我把这本书放在枕边,每天翻一点,慢慢看呗. 4.这么难的书对考北大的人有没有用? 我的答案是有用! 这到不是说逼着你硬着头皮做此书,毕竟考北大的人中能达到同zhaobin在一个水平线上的人不多. 我不是说了吗,考北大要见多识广,多知道些定理结论.在我看来有的定理你可以不知道证明过程,但一定要知道这个定理(想想第9题的Riemann-Lebesgue引理).把<数学分析习题课讲义>上的定理背下来还是能做到吧.其实这本书不仅仅是习题集,她按类把数分梳理开,分的很细致,结构也很清晰,可以作为数分纲领.每一章用简要的笔墨概括下大致内容,再配上适当的例题,还有课后习题.事实上我个人建议,此书是应当珍藏的,尤其是喜欢数分的人. 选好了练习册后,接下来就是做题了.学数分如学游泳,光有理论而不下水是学不会游泳的.做题千万不要先看答案,否则你考场上可能还不会.对于好题要舍得花时间(考北大不是靠题海堆出来的),尤其是北大的历年真题,我觉得想上两三天都不为过.实在想不出来再上论坛上询问.北大这几年似乎前几题会考下基本定理,建议对证明不太长的定理还是多动手推一推. 第三篇 还接着上次的数分书说吧, 我推荐<数学分析习题课讲义>时,确实带有个人倾向.不过谁写经验谈时又不带主观色彩呢? 至少我觉得看"讲义"是慢功出细活儿, 这本书整理的知识点已经算是从古典角度看微积分的大乘之作了.至于她不是最新的,在我看来并不是最重要的.理由有三: 1.如果你不是一个天赋异禀的人, 那么我觉得你还是扎扎实实的打基础,一步一个脚印,逐渐从古典微积分过渡到现代观点.虽然这个过程可能比较长一些,但确实是多数人走的正常道路,而且从长远看也许好处更多(顶尖高手不在讨论之内). 2.观点越新,工具用的越新不代表对问题理解的越深刻.抛弃本源而大跃进搬的赶时髦,刻意求新的话,对天赋一般的人弊端更大.我个人始终认为,对一个数学问题的深刻理解需要时间,而不仅仅是概念和工具新不新的事情. 3.是新的东西都好吗?旧的都不好吗? 它们之间有没有清晰的界限? 这是个很难说的问题,而且还是个历史问题.从数学史看,曾经有些当时很新很时髦的东西,也火了一阵儿,但最终却被历史筛除了出去而没有流传下来.任何数学理论的价值都要经受历史的考验的,虽然这很残酷. 再补充几句:裴礼文那本习题集是报考北大的最低要求,无论如何先要把那本书吃透,这是根本.至于"讲义"要不要看,还是视自身情况很难,我之前第二篇说的有些太绝对了.另外,.裴礼文那本习题集难度还是蛮大的,我所知道的高中联赛一等奖和CMO金牌得主中,有些人承认自己做这本书觉得很难,有些题确实不会.所以认真做这本书还是收获不小的,而且此书算是详细介绍了数分中一些基本技巧,不善用技巧的人可以多揣摩揣摩. 切忌:不要轻易看提示, 你每看一次提示就浪费一次独立思考的好机会. 说完数分,顺带说一下高代.这次完全是站在一个初学者的角度谈的(我三个月前刚看的高代,边看奥运边自学),可能不如谈数分那样高谈阔论, 但也许说的更实在. 以前自己只能做北大数分题,高代不懂(现在仍有很多地方不太理解),总感觉像是吃饭吃半饱.于是觉得自己该自学下高代.大概是6or7月份,开始动手看书了.自己以前只学过工科线代(以二次型为分界线),而且当初学的有如梦魇一般.一致我一看到高代就头大, 但我知道一个人要想提高数学水平必须要全面提升自己,于是硬着头皮看了.可能是自己的思维确实不擅长线性代数吧,加之是自学,效率很低下,信心也不足. 当时,从06年和08年北大高代里挑了几道"我认为难的"题,发帖询问了一下. 结果,得到了类似"这题不难",然后就没下文的空话回帖. 尤其是回帖者还是算是论坛有点水平的人(在论坛上泡一段时间,对谁有水平会有一个大致的认识),类似"这题不难"的空话帖子,以前不是没见过,但倘若不是发生在自己身上恐怕不会有这么强烈的反应. 我当时感觉自尊心受到很强的挫折感,当时甚至想吵一架.不过想想自己的高代水平确实不高,没资格多说什么,底气也不足. 加之论坛那一段时间讨论问题风气也不太好,空话很多.一时意气用事,甚至决定告别论坛.但也许是一个人在一个地方待了太久, 也结识了一些朋友, 不忍心真的告别. 于是决定换了"淡出"而暂时离开论坛. 在我看来, 上论坛询问问题终究不是治本之策, 提升自己的实力才是王道! 遂决定闭关,自修高代. 现在高代算是有所小成吧, 再看当初问的几道高代题,确实不是很难,但也不是很简单吧.所谓言者无心,听者有意.因此我一直呼吁论坛上的高手们(尤其是数学系的)回复帖子时,不要再出现"此题不难"这类空话,很容易打击别人的积极性的.如果实在觉得简单,那就别回帖了. 也许SCIbird在论坛这个范围内说过自己是个数分高手,或者以高手自居的话. 但SCIbird从来没拿高手的身份回复类似"这题不难"而无后文的空话帖子.不论是现在,还是将来,我都会说同样的话:"谁也不是天生的高手,一个人现在水平低不要紧,只要他肯用功努力去提高自己的水平,他就会有所改变,有所提高.对于常人,勤奋远比天分重要!" 最近两三个月看了高代,说说我这个初学者的看法.我有4本高代书, 我个人还是比较喜欢蓝以中和丘维声的高代,前者写的比较全面,观点比较高,富有启发性,后者通俗易懂. 不过课后题我没做(以后再补上吧),但听zhaobin和北大本科某CMO金牌得主推荐说蓝以中的课后题质量比较高,而且也不是很难. 练习册,有一本书建议考北大必买,就是丘维声编著的<高等代数学习指导书>.实际上北大06,07,08高代题都有此书上的原题,当然这是后话. 不过,这本书的内在质量还是很高的,至少在我这个初学者来看,此书写的细致而全面,试题挑选的很好. 当时是在北大出版社买的,后来才发现竟然是清华大学出版社出版,白跑了那么远,倒! 向北大出版社的人咨询,答复说本书只有上册,下册还没出版呢. 至于解析几何,北大的四道题中至少有两道是送分的,只需要勤动手就OK了! 尤承业那本解析几何书上的题还行. 第四篇 关于如何提高自身数分水平.这是一个比较大的话题,数分给人的特点是多而杂, 好比一门武功,共9层,每层13招,每招又有24个变式,很难掌握. 但当你的水平到了一定层次后,你会发现不同的招式之间是相通的,而且数分中基础而本质的东西,并不是像想象中那么多.这里我不打算陷入具体细节中,只想从整体角度谈谈自己的心得,但尽管这样文章仍然很长.于是另外开了一帖,来谈谈"如何提高自身数学分析水平",以供参考. 第五篇 这里想谈谈数学精神方面.兴趣,精神,意志等对于一个人数学水平影响是相当大的.在我看来,一个人如果不喜欢数学,那么他的数学水平是很难提高的.不论是考研,还是做数学研究,数学本身的吸引力才是根本动力!这也是高手与一般人的差距所在.而且说实话,我说的这些东西还真是只可意会,不可言传的东西.非亲身经历恐怕很难理解我的话的意思. 我所了解的数学高手一般都有一个特点:坚忍不拔的意志,不攻克问题誓不罢休.这有点像黑客精神,黑客常为攻克某个防御系统而连续奋战几天,数学高手也为攻克某个数学难题而思考数日.长久的持续思考能力是数学高手的一个代表性的特点,而且这不是朝夕之间可以练成的,非每天站桩不能至也.不夸张的说北大考研成败与否,一个人的态度很重要,不到最后时刻坚决不放弃,胜不骄,败不馁!成败也许只在你不经意的一念之间! 最后唠叨两句真题,北大06,07,08真题质量相当高,必须给予足够的重视!我的建议是不看答案独立思考三天,三天后想不出来再考虑看答案.北大的题是06年开始难度陡增的(看过北大02年的题,真不敢相信那是北大的题),论坛上缺03年,04年的题,不少朋友费力去寻找这两套题.我奉劝还是放弃吧, 考北大是考研而不是考古.05~08真题足够了,物多必反,多拿出些时间看看书,打打基本功,才是王道!行家一身手便知有没有,复试时很容易看出基本功的差距.过了初试不等于万事OK了! 至于复试等后话, 论坛上有许多过来人献身说法,如Gameibaby牛人等等,大家可以搜搜他们的文章. 最后再送给大家几条建议: 1)低调行事,考研成功的低调者居多. 2)少一些抱怨,多干实事; 3)做事脚踏实地,勿以题易而不为,切忌眼高手低! 4)注重基础,尽量使自己有个宽泛的知识面. 5)注重不同章节和学科之间的联系,不要局限于某一块. 6)该放弃时就果断放弃,当断不断,其意自乱! 7)下定决心后,勇敢前进,凡事看者难,行者易! 如何提高自身数学分析水平？ 论坛上朋友们的请求,说说我自己的数分学习经历和心得,以供大家参考. 首先声明:世上没有万能的方法,任何一种方法都有其局限性和适用范围,所以对SCIbird 说的话要辩证的看,取其精华.类似的,如果你在某本书里看到类似"放之四海皆真理的话" 那么你基本可以考虑把这本书扔到垃圾桶里了. 正如题目所写的,本文讲述的是"如何提高自身数学分析水平"也就是说,本文是针对已经学过数分,但苦于数分水平提高缓慢的朋友们的.一点个人心得,希望能给需要帮助的人指引下方向.说是对数分的,但其实对其它数学科目也有参考意义.只是我对分析比较熟悉,故举的例子多是分析方面的. 首先,我们要端正一个态度,即对于一个定理或一个问题,我们不应该用做考试题的态度来对待,而应该用研究数学问题的态度来对待.尽量挖掘出新的东西,而不局限于问题中的结论本身.具体说来,如下: 研究问题,笼统说多是关于存在性,唯一性,条件充不充分,必不必要,有无充要条件等等. 这些泛泛的说法大家也许都知道,也有道理,不过就是不知道具体该怎样做.下面我就详细说下这些年自己的心得体会,以供参考. 1.以几何直观做启发,大胆想象,严密论证. 分析界目前有这种不好的倾向,认为几何直观不严密,于是排斥几何直观而代之以抽象的分析论证,有的书上甚至一张图都没有.诚然,大学数学的一个特点是高度抽象性,而且几何直观确实不能代替严密的证明.但一味的强调抽象性,容易迷失方向,尤其是初学者,往往一头雾水,不知所云.其实,几何直观对许多分析定理有启发作用.很多定理可以从几何直观中观察出来,加以提炼,最后严格证明而上升为定理.举个例子:考虑费马引理,即可导函数的极值点处导数值为0.几何直观上,一个可导函数在极值点处的切线应该是水平的,而且似乎不一定要求导函数连续,然后通过分析严格证明我们的猜想. 但是,问题就结束了吗? 我们能不能走的远点,上面说可导函数极值点导数为0,那么我们可以问导数为0是否就是极值点?什么时候有极值点? 前一个问题是否定的,导数为0点未必就是极值点. 至于后一个问题,条件可能不止一个.其中有一个比较特殊,我们知道闭区间上的连续函数必有最大值和最小值.而对于非常数函数,如果最值在区间内部取得,它也是极值,如果f可导,则f'(x0)=0.于是我们转到什么时候可以有内部最值(也是极值).一个条件是非常数可导函数的两端点相等,则区间内部必有最值点,因而有内点x0满足f'(x0)=0,于是就有了罗尔定理.我们又问了,这个条件必要吗?可以举出反例,这说明罗尔定理的条件只是充分条件. 类似的几何直观还很多,比如把图象旋转一下,罗尔定理就变成了拉格朗日定理,如果用参数形式表示拉格朗日定理,则就变成了柯西定理.当然,以上只是从几何直观做出的猜想,接下来必须严格的给予证明. 2.可以从多角度思考问题. 我们解决了一个好的问题后,不必立刻走开.可以再挖掘一下,看有没有新的发现比如我把条件和结论对调一下,结论还成立吗?原题条件是P1,我换个条件P2,结论还成立吗? 或者说,若不满足条件P1,结论还成立吗? 原问题条件太苛刻了,我削弱一下条件,结论成立否.原问题是3维的,换成n维情况还成立吗? 原问题要求函数f连续,我换成Riemann可积后,结论如何? 或者说原问题是与三角函数(涉及周期性)有关,我换成一般的周期函数后,结论如何? 或者说原命题是否有推广的可能. 举两个例子,比如关于积分号下取极限(or积分运算与极限过程互换),通常要求是一致收敛.但一致收敛这个条件太强了,能否换成更一般的条件.于是阿尔泽拉定理就出现了,其用一致有界和点态收敛条件来替换一致收敛.(可参考南开数学分析or谢惠民的书or微积分学教程) 所谓阿尔泽拉定理(也称为Riemann积分理论中的控制收敛定理)是如下形式: 所谓一致有界,即存在正数M>0,使得任取n,x∈[a,b]有|fn(x)|<=M.阿尔泽拉定理断言只需要可积函数列fn(x)点点收敛,即fn(x)→f(x),和一致有界, 及f(x)Riemann可积,便能推出 lim ∫[a,b]fn(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx (极限运算与积分运算交顺序) 熟悉Lebesgue积分的朋友们会发现,此定理就是实变中Lebesgue控制收敛定理的特例.相比之下多出的条件是要求"f(x)Riemann可积",这是因为极限函数未必是Riemann可积的.这一要求在Lebesgue积分理论中可以去掉,因为可测函数的极限也是可测函数.(这从某个角度表现了L积分相对于R积分的优越性). 其实从实变角度考察数分会有新的收获的,比如:揭示点态收敛与一致收敛之间关系的叶果洛夫定理. 另一个例子,我想举下傅立叶级数理论中的Riemann引理,即傅立叶系数趋于0的推广形式, 为 ∫f(x)sin(λx)dx=0,当λ→∞时. 我们可以猜想,如果我们用更一般的周期函数g(x)来代替sinx,结果如何, 即∫[a,b]f(x)g(λx)dx → 1/T ∫[0,T]g(λx)dx∫[a,b]f(x)dx (T为g(x)的周期) 这就是后来称为Riemann-Lebesgue引理的东西.08年北大的第9题考察的就是这个推广后的Riemann-Lebesgue引理.(简单情况可以取λ=n) 其实,傅立叶级数有许多精彩的理论,大家可以尝试用一般的周期函数代替三角函数推广下.(这种推广不一定都行的通,只是提供一种可能的思路) 我这个帖子是谈如何提高数学修为的,而不是针对考研的(虽然考研的朋友们可以借鉴),这个帖子只是给考研人一个参考而已.坦白说,研究数学与考研经常是矛盾的,这也是不少高手或老师不屑考研的一个原因.关于考研,我在局外人看北大那个帖子里谈了我的看法(那个是针对考研的). 另外,提高数学水平确实费时间,数学王国无皇家大道.除非你在数学方面天赋异禀,否则还是自己多花些功夫为好.我自己觉得我在微积分方面是个数分先天者了,但我今天的数学修为也是苦修来的.比如说,我经常看到有的人抱怨张筑生老师写的<数学分析新讲>太难了,后来我都懒的回帖争论了.我大二买的"新讲",前后反反复复看了能有20遍,虽然不是每次都仔细研读吧,但有几人像我这样.我对新讲中的定理具体在哪块(甚至页码)已经十分熟悉了,就差把这套书背下来了.我觉得任何人只要把一本数分书看上20遍,就不怕水平不提高. 我的信条是:重复是记忆的最佳方法,熟能生巧. 倘若不是我把新讲看上20遍,现在的SCIbird的数分水平仍然是个半吊子,看北大的题仍然觉得是看天书. 我是自学数分的,从没受过哪个人指导,与数学系出身的相比是走了不少冤枉路,浪费了不少时间.但我从不后悔看新讲那20遍,没那20遍我就不能打下扎实的基础,就不可能在2个月内利用业余时间自学完了实变函数.看过我写过的试题证明的朋友们,会觉得我写的笔墨比较多,但还算比较通俗,而且使用的方法也很朴素(以致于被一些朋友认为方法俗套,sigh!).这是因为"新讲"对我的风格影响很大,说实话,以前的我风格与现在完全相反. 讲一段真实的故事: 高中时代的我搞过奥赛,那时的我崇尚证明的华丽和玄乎,喜欢玩技巧!-----我称之为浪漫主义风格.对一些很朴实的方法,反到认为罗唆和水平低.常以擅长华丽的技巧和高深的理论(相对高中来说,主要是竞赛方面)而自居,重证明,轻计算.其直接后果是高考数学考的一塌糊涂.上了大学后,尤其是看了张筑生老师的<新讲>后我的认识有了改变:证明简洁不代表深刻, 证明技巧性很强因而短,不代表具有一般性.写的少,未必就是一个好的证明. 而现在的我有点"重剑无锋"的味道了,呵呵,这与新讲的风格很相近. 至于挖掘新东西费时间,这是正常的,等你念研究生就能深刻体会到了.属于自己的东西才能理解的更深刻.发现的结果与前人撞车不要紧,可以这样YY:当年Newton,Gauss,Euler也发现过,我和他们当年一样...... 而且一段时间以后发觉自己连亲自发掘的东西都记不清了的时候，真是好郁闷-----你缺乏总结, 很多人不喜欢归纳总结甚至鄙视归纳总结,这是不对的.当你归纳总结知识(不论是别人的还是自己的)后,你会有一个整体的认识.一味的做题而不总结,每一次都是局部的,只见树木不见森林,久而久之,反倒迷失了方向. 最后,祝你和其他朋友们金榜题名!Bless All! 越来越感到张筑生老师生前的话了,写数学书不容易啊(写数学文章何尝不是呢).写深了点儿,有的人觉得难;写浅了点儿,有人觉得太简单;写专业点儿,版上有不少和我一样本身不是数学专业的,看不懂;写多了,有人觉得罗唆;写少了,有人往往不知所云.要照顾到不同层次读者真是一件很困难的事情,确实,让别人明白自己在说啥是个难题! 毕竟咱不是大师,不可能三言两语就把问题说清楚,因此多说还是比少说不说好些.至于,举例子,采取这样的方式,我一般举两个例子,一个难的,一个简单的.简单的我尽量限制在数分范围内,而且尽量举比较容易理解的例子.由于例子是现想的,可能不是最恰当的. 3.勤动手算,勤动手推导,在算例中发现规律. 目前有一个糟糕的现象,工科的生偏爱计算,见到证明题就头大;数学系的偏爱证明,对计算不屑.其结果是走两个极端,工科的证明水平比较低,数学系的计算能力比较差.记得上研究生数值分析A时,身边一个mm抱怨老师"讲那么多理论干嘛,只要告诉我怎么算就行了",而且很理直气壮,很强大.(听的我直冒汗) . 又惊闻某实验班学数学分析,结果有的学生算个定积分做不出来.我觉得十分有必要扭转这种不好的现象.证明和计算是统一的,而不应该人为的割裂开. 很多数学定理的发现或者证明确实是算出来的,即便将来打算搞基础数学,适当加强自己计算能力也是有好处的.有些东西你不亲自动手算算,你是看不出规律的.你不积累,如何爆发! 回顾历史,许多大数学家都是擅长计算的,比如偶的偶像Gauss吧,后半辈子在搞天文.那时没计算机,基本靠手算.天文数字,很好算吗? 不过后人整理Gauss的手稿时,发现他很少有算错的.Gauss自己说过他当初如何发现被后人称为"素数定理"的东西,他说他当时计算了3000000以内(好像是这个数,记不清了)的所有素数,然后猜出来的结果. 素数定理:记π(x)表示不超过x的素数的个数,Gauss猜想 lim π(x) / (x/ ln x) = 1. 这个定理是渐进(x→+∞)意义下的,近似程度不是很高(不实用).我们一方面惊叹Gauss惊人的洞察力的同时,还需要看到:如果不是Gauss事先计算了大量的素数,他也不可能发现观察出素数分布频率来. 再举个大家熟悉的例子,比如微分学中两个函数乘积的n阶导数的莱布尼茨公式.这个公式证明不是很复杂,结论也不是很难记.不知大家有没有算过? 对uv求n阶导数(uv)^(n):首先,我们知道 (uv)'=u'v+uv',反复应用这个公式就能求出任意阶导数.如果你有耐心,计算次数比较多(如3次,4次,5次.....),合并结果中的同类项后,你会发现两个规律.(1)各项系数是二项式系数(or杨辉三角);(2)u,v导数阶数之和都为n. 如果你记忆力足够好或高中学的扎实,你会立刻发现这很像二项式展开式.so 你可以大胆的猜想结果是 (uv)^(n)= ∑C_n^k u^(k)v^(n-k), C_n^k为二项式系数. 这就是后来的莱布尼茨的公式.然后你可以尝试用数学归纳法严格证明它. 并不是所有的数学定理都隐藏的很深,很难发现规律.数学有时候也很简单. "我觉得跟你看张筑生的书关系不大，主要还是你的数学水平提高了。"-----呵呵,竟然有比我自己还了解自己的. 事实上,肯定与我自身水平提高有关,因为我说过数学是一个整体.新讲对我的影响太大了,已经渗透到我的方法,思想,甚至精神当中了!!因此我说新讲对我的水平影响最大不为过. 至于两个月自学实变,是这样的.我实变是奥运期间自学的,学的不是特别深,也没怎么做题. 这里多说两句,分享一些心得. 当初主要感觉从传统角度学数分遇到了瓶颈,听说实变从一种新的角度看微积分,而且很本质.当时清华这边有实变函数学实变之说,所以还是很小心的看的.也不指望一遍能看懂,因为我对积分论那部分更感兴趣,测度论简单看看,记了下主要性质就过去了. 我多次在文章中说过,数学是一个整体的,不同学科是相通的. 就测度这块吧,为啥研究它.最初是为了研究积分而自然提出的,∫[a,b]f(x)dx = ? 结果是多少先不管,首先这个积分得有意义.从几何上看积分的几何直观就是曲线与x轴所围成的"曲边梯形"的面积.于是就提出什么时候"有面积"? 于是我们必须先澄清"面积"这个概念,推广面积就得到了测度.如果你数分学的比较好,应该学过约当测度,它初步探讨了面积. 在我看来,约当测度是一种外测度和内测度,Lebesgue测度的思想可以看成是约当测度的推广.既然是测度是面积的一种推广,它就应该有兼容性,即常见的规则图形长度,面积,体积结果都成立.比如:区间[0,1]长度为1,长方形面积为S=ab等等. Lebesgue要建立自己的理论,就要推广约当测度.我想最初大致思路是这样的:1)承认外测度和内侧度仍然有效;2)推广外测度的可加性,由有限可加性到无限可加性,这种推广为啥只到可数可加性呢? 这样想,首先单点集的测度为0,若是不可数可加性,你就得到区间[a,b]的测度也为0,这与最初设计测度的兼容性想法相矛盾!于是无限只能到可数可加性为止. 但这样就OK了吗? 如果你学数学时多留心的话,你发现有的概念定义很怪,有的条件貌似很烦人.这多半是为了排除一些bt的反例而人为加上的.我们记约当测度为J测度,Lebesgue测度为L测度. J测度是用外压和内挤来定义的(外测度=内测度),很类似达布上和与下和,这实际上是逼近的思想(数分的核心思想).但有一个问题,有的图形它没有内部,你无法从内部逼近.那只考虑外测度行不? 不行,因为有反例:存在两个不交的集合A,B.其并集的外测度不等于外测度之和,这与我们通常的认识相违. 于是,退而求其次,即"改造"内测度.我们定义点集E(含于区间[a,b]内)的外侧度,考虑其覆盖(一堆区间)面积的下确界,外测度记为m(E),这无论E有无内部都能做到.在考虑E的相对补集E^c = [a,b]-E的外测度,内测度定义为n(E) = (b-a)-m(E^c).当m(E) = n(E)时,就称E为Lebesgue可测的,其测度为公共值m(E).这说明内测度是用外测度诱导出来的(间接调用外测度),一举两得. 上面的关于外测度和内测度引入思想还是比较自然的,关于lebesgue测度的那些基本性质也很显然.但是这些基本性质的证明却很晦涩.我采取的方式是承认这些测度的基本性质(会用),以后再补上证明.相当于某种程度上避开了令初学者恐惧的测度论. 接着说点Lebesgue积分理论心得吧. <可测函数> 我们的目标是研究积分,当然要研究那些能"围出"面积(测度)的积分了,这样就自然走到了可测函数这块.其实,实变并不那么玄乎,关键在于你能否抓住主线.英国著名数学家Littlewood曾经提出了实变函数论中有名的"小木头三原理", 直观上,大致内容如下: 1).测度与有限个区间的并集相差不多;(外测度定义,L测度是外测度的子集) 2).可测函数与连续函数相差不多;(鲁津定理) 3).一致收敛与点点收敛相差不多.(叶果洛夫定理) 注意,上面的三原理中"与"字右边的都是数分中我们熟悉的东西.如果我们承认这三个基本原理,确实实变中不少结论可由"小木头三原理"推出来.其中最有用的恐怕要属叶果洛夫定理了,因为数分中关于一致收敛有很多结论的,而叶果洛夫定理中那个测度任意小的集合(不一致收敛的点的集合)在积分理论中可以控制(积分值可以任意小). 当然可测函数这里还有其他的定理,就不多说了. 这才是我最感兴趣的地方.熟悉Riemann积分的知道,Riemann积分研究的函数变化不能太剧烈,连续性得比较好.我们研究Riemann积分是分定义域,而Lebesgue积分是分值域(以克服函数变化剧烈造成的困难).可是后者我们在效仿Riemann和时会发现y_i到y_{i+1}对应的x的集合,可能不是一些区间,可能是一些点集,可能很复杂.幸亏我们有测度(可测集可以为一些点集),以前我们只能在区间上积分(or约当可测集上),现在我们可以在L可测集上积分.当然可能会有一些很bt的积分出现,这是数分中没有的.Lebesgue积分的一个很NB的性质是它与Riemann积分兼容,即凡是Riemann可积函数必Lebesgue可积,而且积分值相等. Lebesgue积分的好处不仅仅是扩大了可积函数范围,它放宽了许多极限条件.这可从Lebesgue控制收敛定理,列维定理,法图定理等看出. 有意思的是: Lebesgue控制收敛定理 对应着数分中的 阿尔泽拉定理 列维定理 对应着数分中的 迪尼定理 通过对比,即方便记忆,又加深了理解. 至于后面的微分与不定积分可看作是数分的深化: 我们常见的函数多数都能写成分段单调形式,从实变角度通过对单调函数的研究,得到了许多深刻的结论.而对有界变差函数和绝对连续函数的研究在某种程度上解决了许多微积分上的基本问题.如曲线可求长,NL公式的应用等等. 而L^2理论可以与数分中Fourier级数理论紧密联系,进而有许多深刻的结论,如 ^2中的Fourier级数几乎处处收敛等,进而连续函数的Fourier级数几乎处处收敛. 好贴一起分享。 转自http://blog.sina.com.cn/s/blog_855a9fa501018j8p.html |
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2楼2014-09-04 23:41:58
maolo927
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3楼2014-09-05 09:33:25
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6楼2014-10-02 17:56:39
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7楼2015-01-20 11:37:27
8楼2015-01-21 11:11:38
nauseate
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9楼2015-02-22 11:17:43
793516625
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10楼2015-04-13 20:54:08
