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Edstrayer

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[交流] 关于Euler函数的一个性质已有1人参与

设 $\varphi(n)$ 是Euler函数，试证：

$\liminf\limits_{n\to+\infty}\frac{\varphi(n)}{n}=0$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼 2016-01-07 02:25:18

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Edstrayer

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一、Euler函数 $\varphi(n)$ 的定义：
Euler函数 $\varphi(n)$ 是一个数论函数，它的定义域是正整数集 $\mathbb{N^{+}}$ ， $\varphi(n)$ 定义为：在 $1,2,\cdots,n$ 中与n互素的正整数的个数，记做 $\varphi(n)$ 。用符号表示为：

$\varphi(n)=\overline{\overline{\{k\in\{1,2,\cdots,n\}|(n,k)=1\}}}$

根据上述定义立即可以得到：

$\varphi(1)=1,\varphi(2)=1,\varphi(3)=2,\varphi(4)=2,\varphi(5)=4,\varphi(6)=2,\varphi(7)=6,\varphi(8)=4,\varphi(9)=6,\varphi(10)=4,\cdots$

一般地，由定义立即可以得到，对于任意素数 $p\geqslant 2$ ，有如下的计算公式：

$\varphi(p)=p-1,\varphi(p^{\alpha})=p^{\alpha}-p^{\alpha-1}$

（下转13楼）

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2楼2016-01-08 02:08:20

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3楼2016-01-08 02:43:54

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引用回帖:

7楼: Originally posted by tigou at 2016-01-08 09:04:25
更正：
\psi(P_n)=\frac{P_n}{\ln(P_n)}-n<\frac{P_n}{\ln(P_n)},P_n\to+\infty.

论坛如果增加发帖及回复前的预览功能会更好一些，有助于减少输入错误。谢谢。...

这一步的计算是错误的，

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11楼2016-01-09 00:24:32

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（上接二楼）
注1 易见对于任意素数 $p\geqslant 2$ ，都有：

$\frac{\varphi(p^{\alpha})}{p^{\alpha}}=1-\frac{1}{p}$

所以 $\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\varphi(n)}{n}$ 不存在，但是我们有：

$\lim\limits_{p\to+\infty}\frac{\varphi(p)}{p}=\lim\limits_{p\to+\infty}\frac{p-1}{p}=1$

注意到 $\varphi(n)\leqslant n$ ，因此立即得到：

$\limsup\limits_{n\to+\infty}\frac{\varphi(n)}{n}=1$

（下转16楼）

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13楼2016-01-09 00:38:45

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（上接13楼）
注2 设

$A=\left\{\frac{\varphi(n)}{n}\left|\right.n\in\mathbb{N}^{+}\right\}$

$A'=\{x\in[0,1]|\text{x is the limit point of A}\}$

则由注1知道，对任意素数 $p\geqslant 2$ ，都有 $1-\frac{1}{p}\in A',\quad 1\in A'$ ，又由一楼命题知道 $0\in A'$ ，从而就有 $1\in A'',\quad 0\in A''$ （这里 $A''$ 表示 $A'$ 的导集），那么，还有哪些[0,1]区间中的数属于 $A'$ ？换句话讲， $A'$ 的结构如何？是否一定有 $A'\subseteq[0,1]\cap\mathbb{Q}$ ？或者 $\frac{2}{p}\not\in A'$ （ $p\geqslant 5$ 是素数）？……等等，诸如此类的问题，都是值得我们下一步加以考虑的问题。