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Edstrayer

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[交流] 关于Euler函数的一个性质已有1人参与

设 $\varphi(n)$ 是Euler函数，试证：

$\liminf\limits_{n\to+\infty}\frac{\varphi(n)}{n}=0$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼 2016-01-07 02:25:18

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Edstrayer

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（上接二楼）
注1 易见对于任意素数 $p\geqslant 2$ ，都有：

$\frac{\varphi(p^{\alpha})}{p^{\alpha}}=1-\frac{1}{p}$

所以 $\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\varphi(n)}{n}$ 不存在，但是我们有：

$\lim\limits_{p\to+\infty}\frac{\varphi(p)}{p}=\lim\limits_{p\to+\infty}\frac{p-1}{p}=1$

注意到 $\varphi(n)\leqslant n$ ，因此立即得到：

$\limsup\limits_{n\to+\infty}\frac{\varphi(n)}{n}=1$

（下转16楼）

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

13楼2016-01-09 00:38:45

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Edstrayer

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一、Euler函数 $\varphi(n)$ 的定义：
Euler函数 $\varphi(n)$ 是一个数论函数，它的定义域是正整数集 $\mathbb{N^{+}}$ ， $\varphi(n)$ 定义为：在 $1,2,\cdots,n$ 中与n互素的正整数的个数，记做 $\varphi(n)$ 。用符号表示为：

$\varphi(n)=\overline{\overline{\{k\in\{1,2,\cdots,n\}|(n,k)=1\}}}$