版块导航: 正在加载中...

登录注册

应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜

>论坛更新日志 (1888)
>休闲灌水 (1280)
>基金申请 (256)
>有奖起名 (162)
>虫友互识 (135)
>健康生活 (87)
>论文投稿 (43)
>导师招生 (32)
>留学DIY (32)
>硕博家园 (31)
>考博 (28)
>文献求助 (20)
>考研 (12)
>教师之家 (10)
>博后之家 (9)
>公派出国 (9)

返回列表

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

数学EPI: 7
应助: 157 (高中生)
贵宾: 0.927
金币: 9349.6
散金: 4503
红花: 77
沙发: 2
帖子: 2745
在线: 1465.6小时
虫号: 3086598
注册: 2014-03-25
管辖: 数学

[交流] 关于Euler函数的一个性质已有1人参与

设 $\varphi(n)$ 是Euler函数，试证：

$\liminf\limits_{n\to+\infty}\frac{\varphi(n)}{n}=0$

回复此楼

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼 2016-01-07 02:25:18

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

数学EPI: 7
应助: 157 (高中生)
贵宾: 0.927
金币: 9349.6
散金: 4503
红花: 77
沙发: 2
帖子: 2745
在线: 1465.6小时
虫号: 3086598
注册: 2014-03-25
管辖: 数学

一、Euler函数 $\varphi(n)$ 的定义：
Euler函数 $\varphi(n)$ 是一个数论函数，它的定义域是正整数集 $\mathbb{N^{+}}$ ， $\varphi(n)$ 定义为：在 $1,2,\cdots,n$ 中与n互素的正整数的个数，记做 $\varphi(n)$ 。用符号表示为：

$\varphi(n)=\overline{\overline{\{k\in\{1,2,\cdots,n\}|(n,k)=1\}}}$

根据上述定义立即可以得到：

$\varphi(1)=1,\varphi(2)=1,\varphi(3)=2,\varphi(4)=2,\varphi(5)=4,\varphi(6)=2,\varphi(7)=6,\varphi(8)=4,\varphi(9)=6,\varphi(10)=4,\cdots$

一般地，由定义立即可以得到，对于任意素数 $p\geqslant 2$ ，有如下的计算公式：

$\varphi(p)=p-1,\varphi(p^{\alpha})=p^{\alpha}-p^{\alpha-1}$

（下转13楼）

赞一下(1人)

回复此楼

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2016-01-08 02:08:20

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

yjb7758521

新虫 (小有名气)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 435
帖子: 115
在线: 30.5小时
虫号: 4301772
注册: 2015-12-21
专业: 数论

★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+3, right 2016-01-09 00:47:50

利用1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+...发散，我们可以证明
（1-1/2）*（1-1/3）*（1-1/5）*（1-1/7）*（1-1/11）*（1-1/13）*...收敛于零，从而下极限为零。
手机码字真蛋疼

发自小木虫Android客户端

赞一下(1人)

回复此楼

12楼2016-01-09 00:37:44

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

yjb7758521

新虫 (小有名气)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 435
帖子: 115
在线: 30.5小时
虫号: 4301772
注册: 2015-12-21
专业: 数论

★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

1/2+1/3+1/5+... 的发散性容易根据素数定理估算证明。

注:无限乘积的收敛性等价于对应级数的发散性

发自小木虫Android客户端

赞一下(1人)

回复此楼

14楼2016-01-09 00:47:17

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

普通回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

数学EPI: 7
应助: 157 (高中生)
贵宾: 0.927
金币: 9349.6
散金: 4503
红花: 77
沙发: 2
帖子: 2745
在线: 1465.6小时
虫号: 3086598
注册: 2014-03-25
管辖: 数学

顶一个

回复此楼

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

3楼2016-01-08 02:43:54

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

tigou

木虫 (正式写手)

数学EPI: 1
应助: 3 (幼儿园)
金币: 2477.6
散金: 252
红花: 4
帖子: 709
在线: 225.9小时
虫号: 3724311
注册: 2015-03-10
专业: 数论

帮顶

发自小木虫Android客户端

回复此楼

0/0的意义是所有数的集合

4楼2016-01-08 07:37:08

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

getengqing

木虫 (正式写手)

数学EPI: 1
应助: 104 (高中生)
金币: 3759.8
散金: 30
红花: 5
帖子: 592
在线: 110.5小时
虫号: 2986702
注册: 2014-02-23
性别: GG
专业: 自然语言理解与机器翻译

没有学过这个

回复此楼

一起交流学习/分享优秀资源

5楼2016-01-08 08:52:43

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

tigou

木虫 (正式写手)

数学EPI: 1
应助: 3 (幼儿园)
金币: 2477.6
散金: 252
红花: 4
帖子: 709
在线: 225.9小时
虫号: 3724311
注册: 2015-03-10
专业: 数论

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+7, Latex回复 2016-01-09 00:23:16

目测利用质数定理可证。基本思路如下：
令
$P_n$
为前n个质数之积，例如：
$P_1=2，P_2=2\times 3=6 .$
易知
$P_n\geq 2^n$
同时，根据质数定理，小于
$P_n$
的质数个数
$\pi(P_n)=\frac{P_n}{\ln(P_n)},n\to \infty$
故有
$\psi(P_n)=\frac{P_n}{\ln(P_n)}-n\ge \frac{P_n}{\ln(P_n)},n\to \infty .$
由此可得
$\lim_{P_n\to+\infty}\frac{\psi(P_n)}{P_n}=0 .$
故
$\liminf_{n\to+\infty}\frac{\psi(n)}{n}=0 .$

赞一下

回复此楼

0/0的意义是所有数的集合

6楼2016-01-08 08:54:22

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

tigou

木虫 (正式写手)

数学EPI: 1
应助: 3 (幼儿园)
金币: 2477.6
散金: 252
红花: 4
帖子: 709
在线: 225.9小时
虫号: 3724311
注册: 2015-03-10
专业: 数论

★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

引用回帖:

6楼: Originally posted by tigou at 2016-01-08 08:54:22
目测利用质数定理可证。基本思路如下：
令
P_n
为前n个质数之积，例如：
P_1=2，P_2=2\times 3=6 .
易知
P_n\geq 2^n
同时，根据质数定理，小于
P_n
的质数个数
\pi(P_n)=\frac{P_n}{\ln(P_n)},n\to ...

更正：
$\psi(P_n)=\frac{P_n}{\ln(P_n)}-n<\frac{P_n}{\ln(P_n)},P_n\to+\infty.$

论坛如果增加发帖及回复前的预览功能会更好一些，有助于减少输入错误。谢谢。

赞一下

回复此楼

0/0的意义是所有数的集合

7楼2016-01-08 09:04:25

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

tigou

木虫 (正式写手)

数学EPI: 1
应助: 3 (幼儿园)
金币: 2477.6
散金: 252
红花: 4
帖子: 709
在线: 225.9小时
虫号: 3724311
注册: 2015-03-10
专业: 数论

★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

如果楼主采纳我的证明思路，我想借此机会为化变论打个广告。分析数论是一种粗线条的思路，与质数有关的问题的精髓则在于其中的精细结构，这种精细结构往往与特定的化变规则有关。我所知道的大部分世界级数学难题，都可以用化变论重新表述，并且与特定化变的精细结构有关，特别地与某系初始集的稳定性或者泛集的覆盖性有关。

关于质数，用化变论思路可做如下刻画：
令
$\mathbb{N}_{[2}=\mathbb{N}-\{0,1\} ,\\<br /> f:\mathbb{N}_{[2}\to P(\mathbb{N}_{[2}),\\<br /> f(n)={n\times\m|m\in\mathbb{N}_{[2}} .$
则所有的合数就是 $\mathbb{N}_{[2}$ 对化变 $f^{\cup}$ 的一个泛集 $f^{\cup}(\mathbb{N}_{[2}).$ 这个泛集没有覆盖住其初始集（即大于1的全体自然数），漏网之鱼就是质数。哥德巴赫猜想和考拉兹猜想表明，某些类型的泛集具有覆盖性；四色定理表明，某些类型的初始集具有稳定性；黎曼猜想表明，某些类型的泛集只能覆盖住狭长地带。所有这些性质，都取决于特定化变的特定的精细结构。

赞一下

回复此楼

0/0的意义是所有数的集合

8楼2016-01-08 09:50:19

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

tigou

木虫 (正式写手)

数学EPI: 1
应助: 3 (幼儿园)
金币: 2477.6
散金: 252
红花: 4
帖子: 709
在线: 225.9小时
虫号: 3724311
注册: 2015-03-10
专业: 数论

★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

引用回帖:

8楼: Originally posted by tigou at 2016-01-08 09:50:19
如果楼主采纳我的证明思路，我想借此机会为化变论打个广告。分析数论是一种粗线条的思路，与质数有关的问题的精髓则在于其中的精细结构，这种精细结构往往与特定的化变规则有关。我所知道的大部分世界级数学难题，都 ...

令
$\mathbb{N}_{[2}=\mathbb{N}-\{0,1\}$
$f:\mathbb{N}_{[2}\to 2^{\mathbb{N}_{[2}},f(n)=\{n\times m:m\in\mathbb{N}_{[2}\}$
则全体合数就是泛集
$f^{\cup}(\mathbb{N}_{[2})$
全体质数就是漏网之鱼
$\mathbb{N}_{[2}-f^{\cup}(\mathbb{N}_{[2})$

赞一下

回复此楼

0/0的意义是所有数的集合

9楼2016-01-08 10:01:33

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

tigou

木虫 (正式写手)

数学EPI: 1
应助: 3 (幼儿园)
金币: 2477.6
散金: 252
红花: 4
帖子: 709
在线: 225.9小时
虫号: 3724311
注册: 2015-03-10
专业: 数论

★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

引用回帖:

发现一个严重的错误

$\psi(P_n)=\pi(P_n)-n$
这一步不成立。需要更深入的讨论才能证明楼主的问题。

赞一下

回复此楼

0/0的意义是所有数的集合

10楼2016-01-08 11:23:38

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

相关版块跳转我要订阅楼主 Edstrayer 的主题更新

返回列表

最具人气热帖推荐 [查看全部]		作者	回/看	最后发表

[考博] 售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O.5.4,科目全,可+急 +3	Qj98d49dHFb9 2026-08-25	4/200	2026-08-26 03:08 by cNXvBfCpiZOM
[考研] 售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O.5.4,科目全,可+急 +3	7K1CJE38xLG4 2026-08-25	4/200	2026-08-26 02:04 by cNXvBfCpiZOM
[基金申请] 2026年8月25日国自然放榜前突然收到列入评审专家邮件，有关系吗？ +17	木水思豆 2026-08-25	20/1000	2026-08-26 01:26 by chengyan1220
[基金申请] 今天务委会开完了，明天出结果吗 +18	angus9576 2026-08-25	22/1100	2026-08-26 00:41 by merchancy
[基金申请] 明天应该可查了！？ +6	chengyan1220 2026-08-23	6/300	2026-08-25 19:45 by zfd97
[基金申请] 有没有大神帮我看看基金代码 28+4	1234567wang 2026-08-24	10/500	2026-08-25 19:15 by lfy8008
[基金申请] 放榜前的不淡定 20+4	snowwithsea 2026-08-19	19/950	2026-08-25 17:57 by chick875
[基金申请] 2026国自然函评费到账 +20	羊腰板 2026-08-21	23/1150	2026-08-25 16:34 by zsna
[基金申请] 今日不放榜？网传国自然预计 8 月 27 日可查结果 +17	医学老男孩 2026-08-20	22/1100	2026-08-25 15:36 by 医学老男孩
[基金申请] 没有任何消息-是不是就凉了 +9	图啦图啦 2026-08-24	10/500	2026-08-25 11:59 by 南海小哥
[基金申请] 人气不行了 +11	fansofjerry 2026-08-21	11/550	2026-08-25 11:04 by 孤独的英雄6
[教师之家] 导师吐槽：我怎么摊上了这么个极品研究生！ +3	苏东坡二世 2026-08-23	3/150	2026-08-25 10:35 by shisan1313
[基金申请] 范进中举一文的中心思想 +7	炎黄贵胄 2026-08-22	8/400	2026-08-25 08:48 by ZJTJZ
[基金申请] 只有每年这种时候来逛逛小木虫 +25	yaoyewhu2008 2026-08-20	27/1350	2026-08-25 08:01 by Equinoxhua
[基金申请] 建议基金发布提前给出明确的时间点 +13	kulium 2026-08-21	16/800	2026-08-24 16:27 by superceng
[基金申请] 科研孤儿太难了 +18	我4大白菜 2026-08-20	19/950	2026-08-24 09:47 by 凯恩广盛催化分�
[教师之家] 跳槽后在研项目怎么办？ +5	简单化xn 2026-08-22	10/500	2026-08-23 12:38 by 简单化xn
[基金申请] 今天放榜吗？ +15	布布和一二 2026-08-19	16/800	2026-08-23 09:55 by 张春生
[基金申请] 时间戳今天，20号变了 +5	archvillain 2026-08-20	5/250	2026-08-22 06:12 by hui_daxiao
[基金申请] 基金啊基金 +4	longfie172 2026-08-20	4/200	2026-08-21 08:58 by mark mao

24小时热门版块排行榜

[交流] 关于Euler函数的一个性质 已有1人参与

» 收录本帖的淘帖专辑推荐

» 猜你喜欢

» 本主题相关价值贴推荐，对您同样有帮助:

[交流] 关于Euler函数的一个性质已有1人参与