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Edstrayer

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[交流] 关于Euler函数的一个性质已有1人参与

设 $\varphi(n)$ 是Euler函数，试证：

$\liminf\limits_{n\to+\infty}\frac{\varphi(n)}{n}=0$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼2016-01-07 02:25:18

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tigou

木虫 (正式写手)

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★
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如果楼主采纳我的证明思路，我想借此机会为化变论打个广告。分析数论是一种粗线条的思路，与质数有关的问题的精髓则在于其中的精细结构，这种精细结构往往与特定的化变规则有关。我所知道的大部分世界级数学难题，都可以用化变论重新表述，并且与特定化变的精细结构有关，特别地与某系初始集的稳定性或者泛集的覆盖性有关。

关于质数，用化变论思路可做如下刻画：
令
$\mathbb{N}_{[2}=\mathbb{N}-\{0,1\} ,\\<br /> f:\mathbb{N}_{[2}\to P(\mathbb{N}_{[2}),\\<br /> f(n)={n\times\m|m\in\mathbb{N}_{[2}} .$
则所有的合数就是 $\mathbb{N}_{[2}$ 对化变 $f^{\cup}$ 的一个泛集 $f^{\cup}(\mathbb{N}_{[2}).$ 这个泛集没有覆盖住其初始集（即大于1的全体自然数），漏网之鱼就是质数。哥德巴赫猜想和考拉兹猜想表明，某些类型的泛集具有覆盖性；四色定理表明，某些类型的初始集具有稳定性；黎曼猜想表明，某些类型的泛集只能覆盖住狭长地带。所有这些性质，都取决于特定化变的特定的精细结构。

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0/0的意义是所有数的集合

8楼2016-01-08 09:50:19

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Edstrayer

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一、Euler函数 $\varphi(n)$ 的定义：
Euler函数 $\varphi(n)$ 是一个数论函数，它的定义域是正整数集 $\mathbb{N^{+}}$ ， $\varphi(n)$ 定义为：在 $1,2,\cdots,n$ 中与n互素的正整数的个数，记做 $\varphi(n)$ 。用符号表示为：

$\varphi(n)=\overline{\overline{\{k\in\{1,2,\cdots,n\}|(n,k)=1\}}}$