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7楼: Originally posted by tigou at 2016-01-08 09:04:25
更正：
\psi(P_n)=\frac{P_n}{\ln(P_n)}-n<\frac{P_n}{\ln(P_n)},P_n\to+\infty.

论坛如果增加发帖及回复前的预览功能会更好一些，有助于减少输入错误。谢谢。...

这一步的计算是错误的，

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11楼2016-01-09 00:24:32

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Edstrayer: 金币+3, right 2016-01-09 00:47:50

利用1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+...发散，我们可以证明
（1-1/2）*（1-1/3）*（1-1/5）*（1-1/7）*（1-1/11）*（1-1/13）*...收敛于零，从而下极限为零。
手机码字真蛋疼

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12楼2016-01-09 00:37:44

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（上接二楼）
注1 易见对于任意素数 $p\geqslant 2$ ，都有：

$\frac{\varphi(p^{\alpha})}{p^{\alpha}}=1-\frac{1}{p}$

所以 $\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\varphi(n)}{n}$ 不存在，但是我们有：

$\lim\limits_{p\to+\infty}\frac{\varphi(p)}{p}=\lim\limits_{p\to+\infty}\frac{p-1}{p}=1$

注意到 $\varphi(n)\leqslant n$ ，因此立即得到：

$\limsup\limits_{n\to+\infty}\frac{\varphi(n)}{n}=1$

（下转16楼）

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13楼2016-01-09 00:38:45

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1/2+1/3+1/5+... 的发散性容易根据素数定理估算证明。

注:无限乘积的收敛性等价于对应级数的发散性

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14楼2016-01-09 00:47:17

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咋没人顶我呀，哈哈

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15楼2016-01-09 00:52:42

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（上接13楼）
注2 设

$A=\left\{\frac{\varphi(n)}{n}\left|\right.n\in\mathbb{N}^{+}\right\}$

$A'=\{x\in[0,1]|\text{x is the limit point of A}\}$

则由注1知道，对任意素数 $p\geqslant 2$ ，都有 $1-\frac{1}{p}\in A',\quad 1\in A'$ ，又由一楼命题知道 $0\in A'$ ，从而就有 $1\in A'',\quad 0\in A''$ （这里 $A''$ 表示 $A'$ 的导集），那么，还有哪些[0,1]区间中的数属于 $A'$ ？换句话讲， $A'$ 的结构如何？是否一定有 $A'\subseteq[0,1]\cap\mathbb{Q}$ ？或者 $\frac{2}{p}\not\in A'$ （ $p\geqslant 5$ 是素数）？……等等，诸如此类的问题，都是值得我们下一步加以考虑的问题。

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16楼2016-01-10 00:47:40

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