由[1,2,...,n]≥(n-1)*n可知该无穷级数收敛

去网上放狗, 搜罗了一些事实.

令a(n)=LCM(1,2,3,...,n), 可以证明 [latex]a(n)\leq 3^n[/latex](简单),

[latex]a(n)\geq 2^{n-1}[/latex] (不简单),

或者更准确的渐近公式,
[latex]a(n)=e^{n+o(n)}[/latex] (非常不简单, 利用Gauss的素数定理),

或者再精确点, [latex]|\ln(a(n))-n|< \sqrt{n}\ln^2{n}[/latex](这是Riemann假设的众多等价命题中的一个, 世纪难题!!!)

因此, 级数收敛是个推论. 但可以看出, 用证明e是无理数的方法来试图证明该级数和也是无理数, 此路不通. 几何级数e^n发散远远不如阶乘n!~(n/e)^n快(Stirling公式) 是主要原因，