函数方程的一道竞赛题
例A（Ex0607）设[latex]a>1[/latex]，试求所有的实值函数
[latex]f,g:\mathbb{R^{+}}\to\mathbb{R^{+}}[/latex]
，使得对所有的[latex]x\in\mathbb{R^{+}}[/latex]，都有：
[latex]f(g(x))=\frac{x}{xf(x)-a}[/latex]
和
[latex]g(f(x))=\frac{x}{xg(x)-a}[/latex]
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京公网安备 11010802022153号
我的思路是这样的，利用两个式子消去参数a，直接得到f与g恒等；
于是，f[f(x)] = x/[xf(x)-a];
两边对x趋近于零取极限，并记为M:=lim f(x), x-->0;
若M有穷，则f(x)为一直线，且f(x)=M-x, 带入题目要求知其并不合适；
若M无穷，则f(x)=p/x, p为一实数, 代入条件知p=1+a.
PS：纯解析方法仍在思考，尝试了级数展开法，Laplace变换等，没有做出来。。。
继续关注求高手指点。。
这个函数方程组有且仅有唯一一组解，就是：
[latex]f(x)=g(x)=\frac{1+a}{x}[/latex]
证明过程比较复杂，大致思路是：构造两个收敛的迭代序列，用数学归纳法和夹逼定理证明这两个序列收敛到同一个极限，从而得到问题的惟一解
，
祝福一下
谢谢