无穷级数的一个命题
设
[latex]S_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}(n\geqslant 1)[/latex]
试证明：对每一个整数[latex]k>2[/latex]，存在整数m与n，使得：
[latex]S_m-S_n=\frac{1}{k}[/latex]
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京公网安备 11010802022153号
首先:
Sn=1-1/(n+1);Sm=1-1/(m+1);
Sm-Sn=(m-n)/(m+1)/(n+1);
所以你的问题变成存在m,n使得
(m+1)(n+1)/(m-n)=k对k>1成立!
那么这个成立吗?
比如k=2时你能找出这样的m,n?
路过的看了一下，帮顶~~~~~~~~~~~~~~~~~~
[latex]S_0=0,S_1=\frac{1}{2}[/latex]
[latex]S_1-S_0=\frac{1}{2}[/latex]
，
n不是大于等于1吗?
这道题还真有相当的技巧性
问题归结为（见二楼）对任意正整数[latex]k>2[/latex]，找不定方程
[latex]\frac{(m+1)(n+1)}{m-n}=k[/latex]
的正整数解。
问题归结为（见二楼）对任意正整数[latex]k>2[/latex]，找不定方程
[latex]\frac{(m+1)(n+1)}{m-n}=k[/latex]
的正整数解。