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1不是瑕点,0是，可判断积分收敛； 结果是1/81 (-4 \[Pi]^2 - 6 PolyGamma[1, 1/3] + 3 PolyGamma[1, 2/3]) ,其中PolyGamma是 gamma函数对数的导数; 结果由Mathematica计算出来. 手工推导可以朝着这个方向，但是不是一件易事。
Lim x-->0{Lnx/[1-x^3]}=∞；Lim x-->1{Lnx/[1-x^3]}=-1/3； 因此x=0是间断点，而x=1不是。 由于Integral{lnx*dx,0,1}=-1 综合上述，故原广义积分存在。
用复变函数做，构造闭路，用围道积分，可以算出结果，为 -1.121733014
可以考虑用含参数积分，设 I(b)=int(ln(1+b(x-1))/(1-x^3),x=0..1),则b=1即为所求，即I=I(1)，b=0时I(0)=0 所以I=I(1)-I(0)=int(I'(b),b=0..1);当然I(b)的导数含有对数，也不好积分
[latex]\int_0^1\frac{\ln x}{1-x^3}dx=?[/latex]
六楼的思路是对的 但是 求导数是对b求导 不是对x求导
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京公网安备 11010802022153号
1不是瑕点,0是，可判断积分收敛；
结果是1/81 (-4 \[Pi]^2 - 6 PolyGamma[1, 1/3] + 3 PolyGamma[1, 2/3]) ,其中PolyGamma是 gamma函数对数的导数;
结果由Mathematica计算出来. 手工推导可以朝着这个方向，但是不是一件易事。
Lim x-->0{Lnx/[1-x^3]}=∞；Lim x-->1{Lnx/[1-x^3]}=-1/3；
因此x=0是间断点，而x=1不是。
由于Integral{lnx*dx,0,1}=-1
综合上述，故原广义积分存在。
因为 Integrate_{0}^1 ln(x)/(1-x^a) dx
= - Sum_{k=0}^{Infinity} (ak+1)^{-2},
所以积分收敛，并且值为 -1.1217330139。。。
emuch005.jpg
，
用复变函数做，构造闭路，用围道积分，可以算出结果，为 -1.121733014
可以考虑用含参数积分，设
I(b)=int(ln(1+b(x-1))/(1-x^3),x=0..1),则b=1即为所求，即I=I(1)，b=0时I(0)=0
所以I=I(1)-I(0)=int(I'(b),b=0..1);当然I(b)的导数含有对数，也不好积分
[latex]\int_0^1\frac{\ln x}{1-x^3}dx=?[/latex]
六楼的思路是对的
但是 求导数是对b求导 不是对x求导