这并没有矛盾, 也看不出任何矛盾. 首先, Dirichlet定理说的是逐点收敛(pointwise convergence), 不是uniform convergence, 更不是"均方收敛"(special case of convergence in L_p?); 就是指固定一点x (函数f的连续点), 那么必然存在足够多项的Fourier级数, 使得|S(x) - f(x)|要多小有多小 (partial sum在x收敛与f(x)).

而Gibbs现象的overshoot出现在哪里呢? 出现在不间断点x_0的邻域. 这个邻域多大? 可以足够小!!! 什么叫足够小? 想要多小就有多小, 只要Fourier级数的项足够多!

从这里可以依稀感觉到了, 不间断点的overshoot是会移动的. 在不间断点x_0的邻域会出现overshoot, 但是随着级数项的增多, 这个overshoot会向x_0移动, 想要移动多近就移动多近, 即我们所说的这个邻域想要多小就有多小, 小到里面几乎只剩x_0 (非严格意义的说法).

几乎只剩x_0的解释: 假设我们在x_0的邻域找到另一个点x_1, 这个overshoot刚好在x_1处. 那我们改怎么办? 增加Fourier级数的项, 此时overshoot就会向x_0移动而远离x_1. 那么x_1就不在overshoot所在的x_0的新邻域内了.

引用回帖:

2楼: Originally posted by junefi at 2018-06-26 09:45:23
这并没有矛盾, 也看不出任何矛盾. 首先, Dirichlet定理说的是逐点收敛(pointwise convergence), 不是uniform convergence, 更不是"均方收敛"(special case of convergence in L_p?); 就是指固定一 ...

谢谢您的回复，我不是学数学出身，提的问题可能有点幼稚。

单位阶跃函数的定义是，若 x＜0时，f（x）=1；若x＞0时，f（x）=0； 若x=0时无定义，或定义为f（0）=1/2。那么按我的理解，再小的邻域也属于x＜0或者x＞0，  于是这个overshoot无论怎么靠近x=0，也只能属于x＜0或者x＞0。当n→∞时，在 x＜0这个区间上肯定有一个overshoot。按狄利克雷定理的意思，x＜0这个区间上都应该是点点收敛的吧，可是这个overshoot所在点，肯定就不收敛于原函数了，原函数只要x＜0，函数值就是1，无限项合成之后却是overshoot。

引用回帖:

3楼: Originally posted by 放牛班毕业 at 2018-06-26 11:22:29
谢谢您的回复，我不是学数学出身，提的问题可能有点幼稚。

单位阶跃函数的定义是，若 x＜0时，f（x）=1；若x＞0时，f（x）=0； 若x=0时无定义，或定义为f（0）=1/2。那么按我的理解，再小的邻域也属于x＜0或者 ...

你说的意思其实有点像uniform convergence, 也就是指先固定partial sum的项数N, 然后去check每一点是否都"收敛"(离f(x)函数值很近). 但事实上Dirichlet定理说的不是uniform convergence, 而是POINTWISE收敛. POINTWISE收敛指的是我每次都固定一点看, 如连续点x_0, 那么S(x_0)离函数f(x_0)多近呢? 这要看N多大, 如果这点的值S(x_0)离f(x_0)很远, 我就增大N. Dirichlet定理说我总能找到一个足够大的N使得S(x_0)离f(x_0)足够近. 所以这个N是和x_0有关的.

例如你说的step function, 在x=1处, 可能N=100就有S(1)和f(1)足够小了; 但是在x=0.01, 这个N可能要10000; 而在x=0.0001, 这个N可能就要更大. 无论你考虑的x有多么接近0, 因为它是连续点, 总能找到一个N(很大很大很大, 依赖于x的选择), 使得S(x)离f(x)足够近.

注意, 这里我们是只看一个点, 而选择使得在这个点下partial sum"能靠近"f函数值的N, 其它点在这个N下靠不靠近f我们不管. 如果我们需要观察其它点, 那么就要重新为所观察的点选择足够大的N. 这是POINTWISE收敛的"精髓".

现在回来看看overshoot在哪里. 上面的例子, 在x=1处, overshoot可能在0.01附近(假设的); 而在x=0.01, 在刚才说了N=100时overshoot刚好在这里, 那现在我们该怎么办? 选择N=10000, 此时overshoot向左移动了(可能移动到了0.0001附近), 使得在x=0.01处能收敛了... 因为这个overshoot的移动, 所以无论我们考虑哪个连续点(这个连续点如何接近x=0), 我们都能把overshoot再向原点处移动(这是因为实数是dense的, 一个大于0的数, 它的左边总是还有大于0的数, 所以overshoot还能往左移).

BTW, 我也不是数学出身的...

Remark: 我看了你发的帖子, 你似乎对收敛这个概念不是很清楚. 你可以先复习一下极限的(ε, δ)-definition
，

引用回帖:

4楼: Originally posted by junefi at 2018-06-26 12:17:11
你说的意思其实有点像uniform convergence, 也就是指先固定partial sum的项数N, 然后去check每一点是否都"收敛"(离f(x)函数值很近). 但事实上Dirichlet定理说的不是uniform convergence, 而 ...

谢谢你再次耐心回复。也许我对数学上的收敛的理解还停留在表面上，没有真正理解。

你上面讲的，我大体上明白了，可总是和实际联系不起来。

可我总觉得， 对于信号总要有个直观的东西作为结论。对于信号来说，波形是最直观的，当n→∞时，即用无限项合成的时候，最终的波形上应该能看到overshoot，也就是画波形图，总要把overshoot那一点画出来，到底画在哪呢？前两天我才从一本书上看到这个最终波形的画法。可是看到画出的这个波形的时候，我反而在数学上糊涂了。。。

Gibbs现象的解释2----系统与信号入门.png

引用回帖:

5楼: Originally posted by 放牛班毕业 at 2018-06-26 16:31:46
谢谢你再次耐心回复。也许我对数学上的收敛的理解还停留在表面上，没有真正理解。

你上面讲的，我大体上明白了，可总是和实际联系不起来。

可我总觉得， 对于信号总要有个直观的东西作为结论。对于信号 ...

画图在于你想要的精度是多少, 为了说明这个图应该怎样画, 我举个方波的例子.

下图中Fig. 1是方波的Fourier逼近, 其中三根曲线分别对应三个不同的N(不同的精度). 当N=10^6时, 已经有点像你给出的截图了. 注意横坐标.

但是当我们把横坐标放大看(只看Fig. 1中原点附近的1/10), 如图Fig. 2所示, 我们发现原来"挺好"的图变得"不那么好"了.

同理, 我们可以再增大N画出以为很好的图. 但是当我们再放大看时, 又会出现"奇怪的"现象了.

当N->∞时, Gibbs现象存在, 因此图变得不好画了: 既要表现Gibbs现象, 又要保持partial sum S(x)的连续性. 折中的方法如你给的截图给出一个大概的"现象图".

BTW, Fig. 1和Fig. 2也说明了Dirichlet定理和Gibbs现象并不矛盾(关键还是在于pointwise收敛). 如Fig. 1中, 横坐标x=0.2*10^{-3}对应的S(x), 在N=10^{4}并不接近f(x)的值(这里f的幅值是π/4), 原因是Gibbs的峰值就在这附近. 当我们增大N时, 峰值向左移动, 如其它线条所示.

Gibbs.jpg

引用回帖:

4楼: Originally posted by junefi at 2018-06-26 12:17:11
你说的意思其实有点像uniform convergence, 也就是指先固定partial sum的项数N, 然后去check每一点是否都"收敛"(离f(x)函数值很近). 但事实上Dirichlet定理说的不是uniform convergence, 而 ...

我已经搞明白了。谢谢你的帮助指导。