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木虫 (初入文坛)

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[求助] 解一个积分方程，结果里不要有椭圆积分函数

现在遇到了一个积分方程，解不出来，方程见上传图片，本人用MATLAB解这个方程，结果里面居然含有椭圆积分函数，由于最终结果要得到精确解，所以不能含有椭圆积分函数，愿各位大神赐教。

方程的形式为（a(sin(x))^2+b)^(1/2)在0到pi/2上积分,其中a和b是大于等于0的常量。

IMG_0706.JPG

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1楼 2015-07-08 10:49:00

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hank612

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【答案】应助回帖

楼主, 你这个积分就是椭圆积分函数的定义式啊

做变量替换 $x=\frac{\pi}{2}-\theta$
原积分等于
$\sqrt{a+b}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\frac{a}{a+b}\sin^2{x}}$
这和 https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral
"Complete elliptic integral of the second kind" 一节中的描述完全一样.

你就把椭圆积分函数当作我们熟悉的三角函数一样用, 它的函数值可以用专业软件随时给出, 比如, http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%5Bsqrt%5B1-1%2F3*sin%5E2%5Bx%5D%5D%2C%7Bx%2C0%2Cpi%2F2%7D%5D

即 E(1/3)~1.43032

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We_must_know. We_will_know.

2楼2015-07-10 04:15:13

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hank612

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引用回帖:

2楼: Originally posted by hank612 at 2015-07-10 04:15:13
楼主, 你这个积分就是椭圆积分函数的定义式啊

做变量替换x=\frac{\pi}{2}-\theta
原积分等于
\sqrt{a+b}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\frac{a}{a+b}\sin^2{x}}
这和 https://en.wikipedia.org/wiki/Elli ...

笔误:

原积分等于 $\sqrt{a+b}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-\frac{a}{a+b}\sin^2{x}}dx$