[交流] 椭圆外一定点到已知椭圆的最短距离已有10人参与

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1楼2015-01-01 16:25:25

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终之太刀—晓

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构造拉格朗日函数L(x,y)=(x-1)^2+(y-1)^2+λ(3*x^2+4*y^2-12)。
利用二元函数求极值的方法，即可求得最远与最近距离，以及相应的点坐标。

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PreferenceforMathematics

2楼2015-01-01 16:35:23

为了ta

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以已知定点为圆的圆心，设圆的解析式为（x-x。）∧2+（y-y。）∧2=R∧2，联立椭圆与圆的方程，化简得到一元二次方程，另b∧2-4ac=0,求解会得到两个R值，一个是点到椭圆距离最小值，一个是最大值，解题思想是把点当成圆慢慢放大，当圆第一次与有公共点时是点到椭圆最小距离，最后离开公共点时，时点到椭圆最大值，还好我高中圆锥曲线知识还没忘，希望能帮到你！

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9楼2015-01-02 15:04:18

cooooldog

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假设椭圆参数方程用
$\begin{align}\left\{\begin{array}{rll}x=&2\cos \theta\\y=&\sqrt{3}\sin\theta\end{array}\right.\end{align}$
则距离的平方:
$d^2=\left(1-\sqrt{3} \sin\theta\right)^2+(1-2 \cos \theta)^2$
从而可以得到距离最大和最小时候 $\theta$ 的解析解

$\begin{align} \theta_{\text{max}}=& 2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{\dfrac{3}{9+\sqrt{6 \left(16+\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}+\sqrt[3]{4+\sqrt{15}}\right)}-\sqrt{6 \left(32-\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}-\sqrt[3]{4+\sqrt{15}}+52 \sqrt{\frac{6}{16+\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}+\sqrt[3]{4+\sqrt{15}}}}\right)}}}}\right)\\ \theta_{\text{min}}=& 2 \left(\pi -\tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{9+\sqrt{6 \left(16+\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}+\sqrt[3]{4+\sqrt{15}}\right)}+\sqrt{6 \left(32-\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}-\sqrt[3]{4+\sqrt{15}}+52 \sqrt{\frac{6}{16+\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}+\sqrt[3]{4+\sqrt{15}}}}\right)}}}}\right)\right)\\ \end{align}$
分别代入可以得到最大最小距离;
居然有解析解,只不过麻烦一点

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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็

16楼2015-01-02 19:32:31

普通回帖

cooooldog

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精确的解析解无法用初等函数的形式得到;

如果用参数形式表示椭圆,
(x=2 cos(t), y=sqrt(3) sin(t) )
得到最小距离时候的距离大概是0.18643173255102682
最大距离大概是:10.947605100330506
对应的t则需要解一元8次多项式
f(x)=3 - 4 x^2 - 30 x^4 - 36 x^6 + 3 x^8
(这种问题已经不存在初等形式的解析解)

该多项式方程的其中两个实数解的反正切 (2倍,或加上Pi)是对应的 t
初等函数形式的符号解或解析解不能得到;
但精确到任意精度的解可以用符号计算软件得到;

ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็

3楼2015-01-01 17:52:18

wurongjun

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按照2楼的办法可以得到你想要的结果!
注你给的点在椭圆内部!

善恶到头终有报,人间正道是沧桑.

4楼2015-01-01 18:53:28

一点一滴小事

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3楼: Originally posted by cooooldog at 2015-01-01 17:52:18
精确的解析解无法用初等函数的形式得到;

如果用参数形式表示椭圆,
(x=2 cos(t), y=sqrt(3) sin(t) )
得到最小距离时候的距离大概是0.18643173255102682
最大距离大概是:10.947605100330506
对应的t则需要解 ...

谢谢，大家新年快乐

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5楼2015-01-02 00:57:55

qiw123

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怎么感觉类似的问题在高中的数学里做过呢？

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6楼2015-01-02 02:35:28

人民海军

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高数老师要哭了

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Letbygonesbebygones.

7楼2015-01-02 07:00:27

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7楼: Originally posted by 人民海军 at 2015-01-02 07:00:27
高数老师要哭了

为什么现在的符号计算能够算出这个问题的准确值（如二楼所述），据我所知计算机的计算精度取决于其字长，字长一定精度一定，如果结果是一个无理数那不就没发得出准确值了？是软件算法导致能出准确值的？若是那这个算法又是怎样实现的? 谢谢

8楼2015-01-02 14:50:17

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引用回帖:

8楼: Originally posted by 一点一滴小事 at 2015-01-02 14:50:17
为什么现在的符号计算能够算出这个问题的准确值（如二楼所述），据我所知计算机的计算精度取决于其字长，字长一定精度一定，如果结果是一个无理数那不就没发得出准确值了？是软件算法导致能出准确值的？若是那这个 ...

数值计算始终都会有精确度的限制，这是由电子计算机的原理决定的。电子计算机中所有的数字符号都用二进制串表示，这就意味着无法精确表示无穷多位的小数，包括无理数

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Letbygonesbebygones.

10楼2015-01-02 15:49:26