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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 运筹学与控制论 » 椭圆外一定点到已知椭圆的最短距离
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一点一滴小事

新虫 (初入文坛)

[交流] 椭圆外一定点到已知椭圆的最短距离已有10人参与

已知椭圆方程3*x*x+4*y*y=12;椭圆外一定点p（1,1）；求p点到椭圆上的最短距离n与最远距离s，并求出对应椭圆上点的坐标。
以下是通过lingo软件优化得出的近似最远距离的平方max，我想问如何通过计算得出该问题的准确值？求大神指点！

椭圆外一定点到已知椭圆的最短距离
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1楼2015-01-01 16:25:25
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为了ta

银虫 (小有名气)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
以已知定点为圆的圆心，设圆的解析式为（x-x。）∧2+（y-y。）∧2=R∧2，联立椭圆与圆的方程，化简得到一元二次方程，另b∧2-4ac=0,求解会得到两个R值，一个是点到椭圆距离最小值，一个是最大值，解题思想是把点当成圆慢慢放大，当圆第一次与有公共点时是点到椭圆最小距离，最后离开公共点时，时点到椭圆最大值，还好我高中圆锥曲线知识还没忘，希望能帮到你！

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9楼2015-01-02 15:04:18
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者
★
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构造拉格朗日函数L(x,y)=(x-1)^2+(y-1)^2+λ(3*x^2+4*y^2-12)。
利用二元函数求极值的方法，即可求得最远与最近距离，以及相应的点坐标。
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PreferenceforMathematics
2楼2015-01-01 16:35:23
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cooooldog

铁杆木虫 (著名写手)

ส็็็
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
精确的解析解无法用初等函数的形式得到;

如果用参数形式表示椭圆,
(x=2 cos(t), y=sqrt(3) sin(t) )
得到最小距离时候的距离大概是0.18643173255102682
最大距离大概是:10.947605100330506
对应的t则需要解一元8次多项式
f(x)=3 - 4 x^2 - 30 x^4 - 36 x^6 + 3 x^8
(这种问题已经不存在初等形式的解析解)

该多项式方程的其中两个实数解的反正切 (2倍,或加上Pi)是对应的 t
初等函数形式的符号解或解析解不能得到;
但精确到任意精度的解可以用符号计算软件得到;
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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็
3楼2015-01-01 17:52:18
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)
★
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按照2楼的办法可以得到你想要的结果!
注你给的点在椭圆内部!
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
4楼2015-01-01 18:53:28
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