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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 处处不解析复变函数f(z)=x^2+iy的积分与路径无关问题
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carrie2010

银虫 (小有名气)

[求助] 处处不解析复变函数f(z)=x^2+iy的积分与路径无关问题 已有2人参与

西交大版的复变函数第三章第二题函数f(z)=x^2+iy   分别沿Y=x  y=x^2  从0到1+i积分，得到的结果居然一样 但这个函数只在x=1/2的时候可导 因而是个处处不解析函数  怎么解释他的积分与路径无关的问题？
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1楼 2014-10-12 22:52:34
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carrie2010

银虫 (小有名气)
另外，函数1/（z-z0）在包含z0点的闭合路径上的积分为2πi，这是因为区域内有不解析点z0.
可为什么1/（z-z0）^n,(n≠1)在同一个路径上的积分就是0？他不也包含不解析点吗？为什么就积分与路径无关了呢？
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2楼2014-10-12 23:44:51
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
carrie2010: 金币+4, ★★★很有帮助 2014-10-13 07:55:15
设，再设，则有：



两个积分相等，但是f(z)并不解析（因为，因而不满足Cauchy-Riemann方程）。
积分相等并不表明积分与路径无关，例如，选择另外一条从z=0到z=1+i的路径：，积分就有：


此积分与前述积分并不相等，这表明前述积分的相等只是一种巧合，并不能说明这个积分与积分路径无关。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
3楼2014-10-13 04:09:25
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
carrie2010: 金币+1 2014-10-13 07:55:18
这里有两个问题，一个就是柯西-黎曼方程与解析函数的互为充要条件以及解析函数在复域上的积分与路径无关并不能否定个别非解析函数的积分与路径无关的问题；再一个就是，仅从y=x和y=x^2两个路径积分的结果相同并不能代表从其他路径上积分也一定得到同样的结果。

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4楼2014-10-13 06:56:59
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哎哟喂哟

金虫 (正式写手)
平面上曲线积分与路径无关的条件？

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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子非鱼，焉知鱼之乐
5楼2014-10-13 19:42:32
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