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luyw

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[求助] 如何计算这个积分？已有1人参与

式中Hm()为m阶Hermite多项式，Hn()为n阶Hermite多项式。

gongshi.gif

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1楼 2015-05-15 16:43:56

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racoon01

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【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
feixiaolin: 金币+2 2015-05-16 18:20:46

心好诚啊，金币全都拿出来了？

计算这个积分的高效方法是使用Hermite多项式的母函数公式，请自行试试。

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racoon

2楼2015-05-15 17:14:27

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hank612

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★ ★ ★ ★ ★ ★
feixiaolin: 金币+6 2015-05-16 18:20:32

引用回帖:

2楼: Originally posted by racoon01 at 2015-05-15 17:14:27
心好诚啊，金币全都拿出来了？

计算这个积分的高效方法是使用Hermite多项式的母函数公式，请自行试试。

根据Racoon01大牛指引的方向,我们可以这样试一下.
由于 $\exp(2xt-t^2)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{H_n(x)t^n}{n!}$ , 所以
$\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^m z^n}{m!n!}\int_{-\infty}^{\infty}H_m(x)H_n(ax)\exp(-\frac{(1+a^2)x^2}{2})dx$
等于 $\int_{-\infty}^{\infty}\exp(2xt-t^2+2axz-z^2-\frac{(1+a^2)x^2}{2})dx$

由于 $\int_{-\infty}^{\infty}e^{2ax-x^2}dx=\sqrt{\pi}e^{a^2}$ , 于是上式等于
$\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{1+a^2}}\exp(\frac{2(t+az)^2}{1+a^2}-t^2-z^2)=\sqrt{\frac{2\pi}{1+a^2}}\exp(\frac{1-a^2}{1+a^2}(t^2-z^2)+\frac{4a}{1+a^2}tz)$

其中 $\frac{t^m z^n}{m!n!}$ 的系数当n-m是奇数时, 答案明显是0. 当n-m是偶数时,
比如m<=n时, 系数为 $\sqrt{\frac{2\pi}{1+a^2}}\sum_{j=0}^{[m/2]}\frac{(4a)^{m-2j}(1-a^2)^j(-1+a^2)^{\frac{n-m}{2}+j}n!m!}{(1+a^2)^{\frac{n+m}{2}}j!(m-2j)!(\frac{n-m}{2}+j)!}$ , 貌似杂乱无章, 束手无策了

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We_must_know. We_will_know.

3楼2015-05-16 07:47:55

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racoon01

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【答案】应助回帖

引用回帖:

3楼: Originally posted by hank612 at 2015-05-16 07:47:55
根据Racoon01大牛指引的方向,我们可以这样试一下.
由于\exp(2xt-t^2)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{H_n(x)t^n}{n!}, 所以
\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^m z^n}{m!n!}\int_{-\infty}^{\infty}H_m( ...

此racoon非彼Ox，不可同日而语额。

hank612是真正的Ox, 上面的计算几乎接近完美了，只是最后一步出了偏差，可惜。

等有空时，若是这个积分还保持现状，某愿与hank612交流一下。多谢。

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racoon

4楼2015-05-16 18:07:03

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feixiaolin: 数学EPI+1, 数理不分家。 2015-05-16 22:05:06

引用回帖:

感谢版主鼓励！

厄米多项式的积分1.png

厄米多项式的积分2.png

厄米多项式的积分3.png

厄米多项式的积分4.png

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luyw

racoon

5楼2015-05-16 21:24:47

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5楼: Originally posted by racoon01 at 2015-05-16 21:24:47
感谢版主鼓励！

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厄米多项式的积分2.png

厄米多项式的积分3.png

厄米多项式的积分4.png
...

楼主的每一步都写得无比清楚，我来鸡蛋里挑个骨头：
（22）式的前两个展示次方分别是 $t^{2m}, s^{2n}$ ,
代入（23）式里，楼主不小心写成了 $t^m, s^n$ ,
这样一来，（24）会略有偏差，算是个瑕疵吧。

不过，整体上楼主的解题过程字字珠玑，叹为观止。

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racoon01

We_must_know. We_will_know.

6楼2015-05-17 05:40:23

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6楼: Originally posted by hank612 at 2015-05-17 05:40:23
楼主的每一步都写得无比清楚，我来鸡蛋里挑个骨头：
（22）式的前两个展示次方分别是t^{2m}, s^{2n},
代入（23）式里，楼主不小心写成了t^m, s^n,
这样一来，（24）会略有偏差，算是个瑕疵吧。

不过，整体 ...

you are right. thank you.

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racoon

7楼2015-05-17 07:15:21

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