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caoyanyi

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[求助] 无穷个无穷小乘积为什么不是无穷小？已有8人参与

今日于看到无穷个无穷小乘积不是无穷小，求一通俗易懂实例。

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1楼2014-10-31 09:44:38

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hudi1319

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【答案】应助回帖

★ ★ ★
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caoyanyi: 金币+3, ★★★很有帮助, 辛苦了，非常感谢 2014-10-31 11:01:34

手机上发的，不知道看起来怎么样。
解答如下:
举个无穷多个无穷小的乘积是无穷大的例子：
无穷阵列：a=(0.5)^(n-i)
其中n-->无穷大
可以看这一个阵列的任意一个元素都是无穷小
（可以用定义证明，不管i有多大，a都是无穷小）
我们再来看一看这个阵列的乘积（无限多个无穷小的乘积）
可以看到，无论n多大，这个乘积都是无穷大。
（前n-1个乘数小于1，第n个乘数等于1，但是第n个以后还有无穷多个乘数大于1，故这个乘积是无穷大。即：不管n多大，这个乘积都是无穷大）

另外的，
定义函数列如下:

1.fn(x)的定义域为:[1,+∞).

2.f1(x)=1,       x∈[1,2)

  f1(x)=1/x,    x∈[2,+∞)

3.n>1,

  fn(x)=1,       x∈[1,n)

  fn(x)=x^(n-1),  x∈[n,n+1)

  fn(x)=1/x,    x∈[n+1,+∞)

4.设F(x)=∏{1≤n}fn(x),

ⅰ.x∈[1,2)

==>fn(x)=1

==>F(x)=∏{1≤n}fn(x)=1

ⅱ.x∈[k,k+1),k>1

fn(x)=1/x,n≤k-1

fk(x)=x^(k-1),

fn(x)=1,k+1≤n

F(x)=∏{1≤n}fn(x)=

=f1(x)*..*f(k-1)(x)*fk(x)*1*1...=

=(1/x)*..(1/x)*x^(k-1)*1..*1...=

=1

所以F(x)≡1,因此当x→+∞时,F(x)不是无穷小.

但对于每个fn(x),当x→+∞时,fn(x)是无穷小.

(显然Lim{x→+∞}fn(x)=0)

所以无穷个无穷小的乘积不一定是无穷小.

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Silence.

3楼2014-10-31 10:00:59

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bebemelon

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【答案】应助回帖

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实例？！不好说，但我可以告诉你一条，无穷世界的事不能用有穷世界的看法来看，换言之，无穷世界什么毁三观的事都能发生……

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13楼2014-10-31 13:12:40

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zurix

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【答案】应助回帖

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caoyanyi: 金币+2, ★★★很有帮助 2014-10-31 14:13:45

研究极限的核心问题是变量趋向特定点速度问题！无穷个无穷小。一个有洞的杯子装了n摩尔水，水在往外流。你拿瓢加水。杯子里的水趋向零。你加水加一万年！漏水速度够大时，杯子空了（零）。漏水速度不足以抵抗加水速度，杯子可能是满的（某个定值）！加水更猛，可能水漫金山（正无穷）！这是加法关系。乘法，就当是无穷个哥们在往里倒水！

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14楼2014-10-31 13:31:30

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修竹依米

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引用回帖:

4楼: Originally posted by 柳清 at 2014-10-31 10:58:20
无穷个无穷小的乘积肯定是无穷小！可以两边夹定理证明的！

这个真证明不了
给出一个反例如下
1 1/2 1/3  1/4 ...1/n ... 是一个无穷小
1  2 1/3  1/4 ...1/n ...是一个无穷小
1  1 3^2 1/4 ...1/n ...是一个无穷小
1  1 1    4^3 ...1/n ...是一个无穷小
.......
如此构造的无限多个无穷小
其乘积是
1  1 1 1.......

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15楼2014-10-31 17:33:50

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