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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 无穷个无穷小乘积为什么不是无穷小？
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matliu

新虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
这个要看计算次序，是先对乘积取再对无穷小取极限，还是先对无穷小取再对乘积取极限。前者结果不一定为零，后者一定是零。数学要先给个明确的定义才能，这样的问题给出定义实在是不明确。

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11楼2014-10-31 12:44:43
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fyq98

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
caoyanyi: 金币+2, ★★★很有帮助 2014-10-31 13:09:36
可以这样看：在离散的情形下
无穷小指的是收敛于0的数列。
当对无穷小做乘积时，要注意到这些数列收敛到0的情况（比如说快慢）是不一样的。
如果是有限个做乘积，那么其结果必然还是无穷小，因为有限个无穷小每个都是有界的，有限个有限数乘积还是有限数；
如果是无限个，那么就要注意，无限个数相乘可能发散，也可能是无穷大；如果乘积为无穷大，在广泛的意义下，可以认为这时数列每一项都是无穷大，从而数列不会收敛到0.
这方面的例子很多，具体的可以再《高等数学研究》上查一下
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克难奋进
12楼2014-10-31 13:05:12
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bebemelon

铁虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
实例？！不好说，但我可以告诉你一条，无穷世界的事不能用有穷世界的看法来看，换言之，无穷世界什么毁三观的事都能发生……

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13楼2014-10-31 13:12:40
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zurix

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
caoyanyi: 金币+2, ★★★很有帮助 2014-10-31 14:13:45
研究极限的核心问题是变量趋向特定点速度问题！无穷个无穷小。一个有洞的杯子装了n摩尔水，水在往外流。你拿瓢加水。杯子里的水趋向零。你加水加一万年！漏水速度够大时，杯子空了（零）。漏水速度不足以抵抗加水速度，杯子可能是满的（某个定值）！加水更猛，可能水漫金山（正无穷）！这是加法关系。乘法，就当是无穷个哥们在往里倒水！

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14楼2014-10-31 13:31:30
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修竹依米

木虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by 柳清 at 2014-10-31 10:58:20
无穷个无穷小的乘积肯定是无穷小！可以两边夹定理证明的！

这个真证明不了
给出一个反例 如下
1 1/2 1/3  1/4 ...1/n ... 是一个无穷小
1  2   1/3  1/4 ...1/n ...是一个无穷小
1  1   3^2 1/4 ...1/n ...是一个无穷小
1  1   1     4^3 ...1/n ...是一个无穷小
.......
如此构造的 无限多个无穷小
其乘积是
1  1   1   1.......
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15楼2014-10-31 17:33:50
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修竹依米

木虫 (小有名气)
引用回帖:
6楼: Originally posted by 柳清 at 2014-10-31 11:10:49
2,3楼例子是错的！因为所列举的例子，从某个因子开始，就不再是无穷小了！

这个说法不当
简单些说：
无穷小只管后面  不管前面
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16楼2014-10-31 17:34:53
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人民海军

木虫 (职业作家)
楂樻暟鑰?甯堣�?鍝簡

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Letbygonesbebygones.
17楼2014-10-31 18:23:41
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人民海军

木虫 (职业作家)
gao shu lao shi yao ku le

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Letbygonesbebygones.
18楼2014-10-31 18:24:30
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夜晨牧渔

新虫 (正式写手)
n个n分之一相加，答案是1

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钟晨暮鼓，夜晨牧渔
19楼2014-10-31 18:31:21
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柳清

木虫 (小有名气)
引用回帖:
15楼: Originally posted by 修竹依米 at 2014-10-31 17:33:50
这个真证明不了
给出一个反例 如下
1 1/2 1/3  1/4 ...1/n ... 是一个无穷小
1  2   1/3  1/4 ...1/n ...是一个无穷小
1  1   3^2 1/4 ...1/n ...是一个无穷小
1  1   1     4^3 ...1/n ...是一个无穷小
... ...

是我理解错了，你是对的！
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Blow-up
20楼2014-10-31 20:09:20
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