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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 无穷个无穷小乘积为什么不是无穷小？
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caoyanyi

银虫 (小有名气)

[求助] 无穷个无穷小乘积为什么不是无穷小？ 已有8人参与

今日于看到无穷个无穷小乘积不是无穷小，求一通俗易懂实例。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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1楼 2014-10-31 09:44:38
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修竹依米

木虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by 柳清 at 2014-10-31 10:58:20
无穷个无穷小的乘积肯定是无穷小！可以两边夹定理证明的！

这个真证明不了
给出一个反例 如下
1 1/2 1/3  1/4 ...1/n ... 是一个无穷小
1  2   1/3  1/4 ...1/n ...是一个无穷小
1  1   3^2 1/4 ...1/n ...是一个无穷小
1  1   1     4^3 ...1/n ...是一个无穷小
.......
如此构造的 无限多个无穷小
其乘积是
1  1   1   1.......
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15楼2014-10-31 17:33:50
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修竹依米

木虫 (小有名气)
引用回帖:
6楼: Originally posted by 柳清 at 2014-10-31 11:10:49
2,3楼例子是错的！因为所列举的例子，从某个因子开始，就不再是无穷小了！

这个说法不当
简单些说：
无穷小只管后面  不管前面
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16楼2014-10-31 17:34:53
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修竹依米

木虫 (小有名气)
引用回帖:
26楼: Originally posted by 陈义chenyi at 2014-11-01 01:42:05
无穷多个无穷小量的乘积为零！！！
设εn为无穷小量，则有ΙεnΙ＜1/2，
πΙεnΙ＜1/2^n，n→∞，πΙεnΙ→0，
即πεn→0，证毕

无穷多个未必是可列多个
此证无效
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33楼2014-11-01 18:23:27
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修竹依米

木虫 (小有名气)
引用回帖:
25楼: Originally posted by nbwhjf000 at 2014-10-31 23:54:05
只有当m为有限值时，因子才是无穷小
...

这个未必
关键是看M N去向无穷时的相互关系
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34楼2014-11-01 18:24:58
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修竹依米

木虫 (小有名气)
引用回帖:
24楼: Originally posted by nbwhjf000 at 2014-10-31 23:51:50
这个证明不对，第m个因子是
1*1*1*…*1*m^(m-1)*(1m+1)*(1/m+2)*…*(1/n)*……
"这个数是无穷小"的必要条件是"m为有限值"
若因子有无限项，则m趋于无穷大，m趋于无穷大时，这个因子也趋于无 ...

"这个数是无穷小"的必要条件是"m为有限值"---这个不敢认可
要看M N 趋向无穷时的相互关系如何
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35楼2014-11-01 18:27:02
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