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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 概率论与统计 » 关于随机变量的和的定义域的一个小疑问
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hubeizk

银虫 (小有名气)

[求助] 关于随机变量的和的定义域的一个小疑问 已有2人参与

设X1，X2,,,Xn都是概率空间(A,F,\mu)上的随机变量，由定理可知X=X1+X2+...+Xn也是随机变量，现在我的疑问是X的定义域是哪个空间？答案不外乎两种：一.X的定义域仍是A，但在这种情况下，不妨取A={抛掷硬币的正面，反面}，X1...Xn i.i.d, 且Xi(正面)=1，Xi(反面)=0，那么在这种情况下X的取值只有0或n，因为X(正面)=1+1+...+1=n，X(反面)=0+0+...+0=0，这种情况应该是错的；二.X的定义域是A*A*...*A，如果是这样，那么就可以解释上面例子中X的取值，即从0到n都可以取到，但是在这种情况下，关于定理“随机变量和的期望=每个随机变量的期望的和”就不能简单的用积分是线性的这个性质来证明，那又该如何证明。
关于这个地方想了好久也没想通
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1楼 2014-02-12 10:03:57
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jabile

木虫 (正式写手)
引用回帖:
10楼: Originally posted by hubeizk at 2014-02-12 13:12:45
恩，这样的确可以同时解释上面的问题。那么对于任意一个随机变量的和的问题，按照如此方法定义是不是略显麻烦？有没有其它更为简单的解释了？...

一般地，设X,Y都是同一个概率空间(A,F,P)到可测空间(E,B(E))上的
映射，即E-值随机变量，若E上可以定义加法，加法是乘积可测空间
E^2到E上的可测映射，(X,Y)是A到E^2上的可测映射，复合映射
A\rightarrow E^2\rightarrow E就是X,Y的和
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11楼2014-02-12 14:01:39
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hubeizk

银虫 (小有名气)
引用回帖:
11楼: Originally posted by jabile at 2014-02-12 14:01:39
一般地，设X,Y都是同一个概率空间(A,F,P)到可测空间(E,B(E))上的
映射，即E-值随机变量，若E上可以定义加法，加法是乘积可测空间
E^2到E上的可测映射，(X,Y)是A到E^2上的可测映射，复合映射
A\rightarrow E^2\r ...

恩，证明随机变量的和仍然是随机变量就是这种方法，但是根据这种解释就是说X+Y是定义在空间A上的，而不是乘积空间上，这不就是最开始说得第一种解释？
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12楼2014-02-12 18:31:27
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)
引用回帖:
10楼: Originally posted by hubeizk at 2014-02-12 13:12:45
恩，这样的确可以同时解释上面的问题。那么对于任意一个随机变量的和的问题，按照如此方法定义是不是略显麻烦？有没有其它更为简单的解释了？...

概率论的目标是研究样本空间各种可测子集的概率大小的，但因为一般的样本空间没有什么数学结构，比如线性结构、度量结构等，也就是说对一般的样本空间来说，其数学结构太差，不好处理，所以才引入随机变量，将样本空间映射到实数域，因为实数域是i一个非常好的集合，具有非常好的数学结构。
从映射的角度看，随机变量就是一个样本空间到实数域的映射，：定义域是样本空间，值域是实数，概率论一般就只研究其值域，将样本空间的子集转化为实数的可测子集，便于计算。通常不考虑映射的具体形式，所以只要假设有一个样本空间存在就可以了。
所以楼主不必纠结其定义域
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15楼2014-02-13 10:33:28
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polypro

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
纯粹的随机变量序列是无法做积分的（没有规律，无法写出积分函数）。每个随机变量有阈值范围，所以你说的定理必须还有一定的条件。
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泉涸,鱼相与处于陆,相呴以湿,相濡以沫,不如相忘于江湖。
2楼2014-02-12 10:35:51
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hubeizk

银虫 (小有名气)
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2楼: Originally posted by polypro at 2014-02-12 10:35:51
纯粹的随机变量序列是无法做积分的（没有规律，无法写出积分函数）。每个随机变量有阈值范围，所以你说的定理必须还有一定的条件。

所说的随机变量X的积分即是在概率空间下的lebesgue积分，\integral X dP.另外定理“随机变量和的期望=每个随机变量的期望的和“在我所看教材中的确是有条件的，条件是随机变量X,Y>=0且X、Y可积，但是lebesgue积分的线性只需要两个函数可积就行，所以我也在想定理为什么要加上X，Y>=0这个限制条件。。。。（注：最开始问题中的随机变量都是可积的）
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3楼2014-02-12 11:01:03
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jabile

木虫 (正式写手)
随机变量关心的是值域而非定义域
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4楼2014-02-12 11:05:43
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hubeizk

银虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by jabile at 2014-02-12 11:05:43
随机变量关心的是值域而非定义域

虽然说关心的是值域，但随机变量本质是一个函数，既然是一个函数至少就应该弄清它的定义域
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5楼2014-02-12 11:11:19
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jabile

木虫 (正式写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by hubeizk at 2014-02-12 11:11:19
虽然说关心的是值域，但随机变量本质是一个函数，既然是一个函数至少就应该弄清它的定义域...

随机变量的定义域主要是为了提供分布，所以一般谈随机变量，除非为了构造分布或者说明分布的存在性，一般是不讲定义域的
至于随机变量的和的问题则完全和定义域无关
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6楼2014-02-12 12:13:15
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jabile

木虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by hubeizk at 2014-02-12 11:01:03
所说的随机变量X的积分即是在概率空间下的lebesgue积分，\integral X dP.另外定理“随机变量和的期望=每个随机变量的期望的和“在我所看教材中的确是有条件的，条件是随机变量X,Y>=0且X、Y可积，但是lebesgue积 ...

应该指实随机变量吧，X,Y>=0，这个条件是不需要的
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7楼2014-02-12 12:19:36
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hubeizk

银虫 (小有名气)
引用回帖:
6楼: Originally posted by jabile at 2014-02-12 12:13:15
随机变量的定义域主要是为了提供分布，所以一般谈随机变量，除非为了构造分布或者说明分布的存在性，一般是不讲定义域的
至于随机变量的和的问题则完全和定义域无关...

非常感谢！但我还是没有弄懂最开始提的问题。随机变量的和由定理可知仍然是一个随机变量，也就是一个可测函数，研究该随机变量的分布肯定得先知道它的值域，因此绕不开它的定义域，所以我想知道随机变量的和的定义域是哪个空间
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8楼2014-02-12 12:32:38
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
hubeizk: 金币+20, ★★★★★最佳答案, 在我想给金币的人里面只有你的这个帖子能给，就全给这个帖子好了 2014-02-13 10:54:13
楼主对测度论研究得很仔细，个人提点个人看法，不一定对，仅供楼主参考：
A本身就是一个无穷乘积空间：即A={w=(w1,w2,w3,....,wn,...)|wi=正面或反面}
随机变量Xn的定义为 Xn(w)=1 若 wn=正面，Xn(w)=0 若 wn=反面，n=1,2,3,....
即随机变量可以看成样本点在第n个坐标上的投影
这样X= X1+X2+...+Xn就比较好理解了
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hubeizk
9楼2014-02-12 12:53:29
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hubeizk

银虫 (小有名气)
送红花一朵
引用回帖:
9楼: Originally posted by math2000 at 2014-02-12 12:53:29
楼主对测度论研究得很仔细，个人提点个人看法，不一定对，仅供楼主参考：
A本身就是一个无穷乘积空间：即A={w=(w1,w2,w3,....,wn,...)|wi=正面或反面}
随机变量Xn的定义为 Xn(w)=1 若 wn=正面，Xn(w)=0 若 wn=反面 ...

恩，这样的确可以同时解释上面的问题。那么对于任意一个随机变量的和的问题，按照如此方法定义是不是略显麻烦？有没有其它更为简单的解释了？
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10楼2014-02-12 13:12:45
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