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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 概率论与统计 » 关于随机变量的和的定义域的一个小疑问
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jabile

木虫 (正式写手)
引用回帖:
10楼: Originally posted by hubeizk at 2014-02-12 13:12:45
恩，这样的确可以同时解释上面的问题。那么对于任意一个随机变量的和的问题，按照如此方法定义是不是略显麻烦？有没有其它更为简单的解释了？...

一般地，设X,Y都是同一个概率空间(A,F,P)到可测空间(E,B(E))上的
映射，即E-值随机变量，若E上可以定义加法，加法是乘积可测空间
E^2到E上的可测映射，(X,Y)是A到E^2上的可测映射，复合映射
A\rightarrow E^2\rightarrow E就是X,Y的和
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11楼2014-02-12 14:01:39
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hubeizk

银虫 (小有名气)
引用回帖:
11楼: Originally posted by jabile at 2014-02-12 14:01:39
一般地，设X,Y都是同一个概率空间(A,F,P)到可测空间(E,B(E))上的
映射，即E-值随机变量，若E上可以定义加法，加法是乘积可测空间
E^2到E上的可测映射，(X,Y)是A到E^2上的可测映射，复合映射
A\rightarrow E^2\r ...

恩，证明随机变量的和仍然是随机变量就是这种方法，但是根据这种解释就是说X+Y是定义在空间A上的，而不是乘积空间上，这不就是最开始说得第一种解释？
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12楼2014-02-12 18:31:27
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jabile

木虫 (正式写手)
引用回帖:
12楼: Originally posted by hubeizk at 2014-02-12 18:31:27
恩，证明随机变量的和仍然是随机变量就是这种方法，但是根据这种解释就是说X+Y是定义在空间A上的，而不是乘积空间上，这不就是最开始说得第一种解释？...

也可以认为是乘积空间上的，前面讲定义域仅仅是为了获得分布，实际上可以取A就是E^2，其概率就是(X,Y)的联合分布
获得了X+Y的分布，A就不再起作用了
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13楼2014-02-12 18:56:08
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hubeizk

银虫 (小有名气)
恩，你的意思我已经明白了，非常感谢！不过我的问题就是A具体是取原空间还是乘积空间对随机变量的和的取值会有影响，也就会对X+Y的分布有影响，应该如何判断？我觉得因为在一般情形下我们都可以看出随机变量的和的取值范围，所以不太关心X+Y的定义域，比如前面举的抛硬币X=X1+X2...+Xn的例子，X的取值范围很容易看出就是0到n中的所有整数，也很容易给出X的分布，但在这个例子中，如果将X的定义域仅看成是A={正面、反面}而不是乘积空间的话则无法解释X的取值范围；如果将X的定义域看成是乘积空间，一个很好的解释便如math2000在9楼所给出的，但是我个人觉得这种解释略微复杂，所以想知道有没有更好的解释。
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14楼2014-02-12 20:30:55
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)
引用回帖:
10楼: Originally posted by hubeizk at 2014-02-12 13:12:45
恩，这样的确可以同时解释上面的问题。那么对于任意一个随机变量的和的问题，按照如此方法定义是不是略显麻烦？有没有其它更为简单的解释了？...

概率论的目标是研究样本空间各种可测子集的概率大小的，但因为一般的样本空间没有什么数学结构，比如线性结构、度量结构等，也就是说对一般的样本空间来说，其数学结构太差，不好处理，所以才引入随机变量，将样本空间映射到实数域，因为实数域是i一个非常好的集合，具有非常好的数学结构。
从映射的角度看，随机变量就是一个样本空间到实数域的映射，：定义域是样本空间，值域是实数，概率论一般就只研究其值域，将样本空间的子集转化为实数的可测子集，便于计算。通常不考虑映射的具体形式，所以只要假设有一个样本空间存在就可以了。
所以楼主不必纠结其定义域
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15楼2014-02-13 10:33:28
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hubeizk

银虫 (小有名气)
引用回帖:
15楼: Originally posted by math2000 at 2014-02-13 10:33:28
概率论的目标是研究样本空间各种可测子集的概率大小的，但因为一般的样本空间没有什么数学结构，比如线性结构、度量结构等，也就是说对一般的样本空间来说，其数学结构太差，不好处理，所以才引入随机变量，将样本 ...

好的，我明白了，非常感谢！
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16楼2014-02-13 10:38:55
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jabile

木虫 (正式写手)
引用回帖:
14楼: Originally posted by hubeizk at 2014-02-12 20:30:55
恩，你的意思我已经明白了，非常感谢！不过我的问题就是A具体是取原空间还是乘积空间对随机变量的和的取值会有影响，也就会对X+Y的分布有影响，应该如何判断？我觉得因为在一般情形下我们都可以看出随机变量的和的取 ...

X，Y必须定义到同一概率空间上，
A如果是{正面、反面}是无法做到这点的
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17楼2014-02-13 10:43:02
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hubeizk

银虫 (小有名气)
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17楼: Originally posted by jabile at 2014-02-13 10:43:02
X，Y必须定义到同一概率空间上，
A如果是{正面、反面}是无法做到这点的...

X、Y i.i.d， 且定义域空间都是A={正面、反面}，这样不就做到了？
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18楼2014-02-13 10:50:51
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jabile

木虫 (正式写手)
引用回帖:
18楼: Originally posted by hubeizk at 2014-02-13 10:50:51
X、Y i.i.d， 且定义域空间都是A={正面、反面}，这样不就做到了？...

我指一般情形，这是个特例，这个特例里面你也可以用这个A的，定义域的唯一要求是可以给X,Y的联合分布
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19楼2014-02-13 11:03:01
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hubeizk

银虫 (小有名气)
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19楼: Originally posted by jabile at 2014-02-13 11:03:01
我指一般情形，这是个特例，这个特例里面你也可以用这个A的，定义域的唯一要求是可以给X,Y的联合分布...

1.前面我可能没有写清楚，X=X1+X2+...+Xn，其中Xi都是定义在同一概率空间中的，只不过它们可能独立也可能不独立，可能分布相同也可能分布不同；2.在这个特例中，如果X=X1+X2+...+Xn的定义域取成A={正面、反面}的话，那么X(正面)=X1(正面)+...+Xn(正面)=n，同样X(反面)=0，也就是说随机变量和X的取值只有两种，而这显然是不对的，所以在这个例子中，X的定义域应该理解为乘积空间A*A*...*A
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20楼2014-02-13 11:14:34
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