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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 概率论与统计 » 关于随机变量的和的定义域的一个小疑问
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hubeizk

银虫 (小有名气)

[求助] 关于随机变量的和的定义域的一个小疑问 已有2人参与

设X1，X2,,,Xn都是概率空间(A,F,\mu)上的随机变量，由定理可知X=X1+X2+...+Xn也是随机变量，现在我的疑问是X的定义域是哪个空间？答案不外乎两种：一.X的定义域仍是A，但在这种情况下，不妨取A={抛掷硬币的正面，反面}，X1...Xn i.i.d, 且Xi(正面)=1，Xi(反面)=0，那么在这种情况下X的取值只有0或n，因为X(正面)=1+1+...+1=n，X(反面)=0+0+...+0=0，这种情况应该是错的；二.X的定义域是A*A*...*A，如果是这样，那么就可以解释上面例子中X的取值，即从0到n都可以取到，但是在这种情况下，关于定理“随机变量和的期望=每个随机变量的期望的和”就不能简单的用积分是线性的这个性质来证明，那又该如何证明。
关于这个地方想了好久也没想通
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1楼 2014-02-12 10:03:57
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hubeizk

银虫 (小有名气)
引用回帖:
19楼: Originally posted by jabile at 2014-02-13 11:03:01
我指一般情形，这是个特例，这个特例里面你也可以用这个A的，定义域的唯一要求是可以给X,Y的联合分布...

1.前面我可能没有写清楚，X=X1+X2+...+Xn，其中Xi都是定义在同一概率空间中的，只不过它们可能独立也可能不独立，可能分布相同也可能分布不同；2.在这个特例中，如果X=X1+X2+...+Xn的定义域取成A={正面、反面}的话，那么X(正面)=X1(正面)+...+Xn(正面)=n，同样X(反面)=0，也就是说随机变量和X的取值只有两种，而这显然是不对的，所以在这个例子中，X的定义域应该理解为乘积空间A*A*...*A
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20楼2014-02-13 11:14:34
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polypro

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
纯粹的随机变量序列是无法做积分的（没有规律，无法写出积分函数）。每个随机变量有阈值范围，所以你说的定理必须还有一定的条件。
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泉涸,鱼相与处于陆,相呴以湿,相濡以沫,不如相忘于江湖。
2楼2014-02-12 10:35:51
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hubeizk

银虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by polypro at 2014-02-12 10:35:51
纯粹的随机变量序列是无法做积分的（没有规律，无法写出积分函数）。每个随机变量有阈值范围，所以你说的定理必须还有一定的条件。

所说的随机变量X的积分即是在概率空间下的lebesgue积分，\integral X dP.另外定理“随机变量和的期望=每个随机变量的期望的和“在我所看教材中的确是有条件的，条件是随机变量X,Y>=0且X、Y可积，但是lebesgue积分的线性只需要两个函数可积就行，所以我也在想定理为什么要加上X，Y>=0这个限制条件。。。。（注：最开始问题中的随机变量都是可积的）
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3楼2014-02-12 11:01:03
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jabile

木虫 (正式写手)
随机变量关心的是值域而非定义域
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4楼2014-02-12 11:05:43
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