应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜    

小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 概率论与统计 » 关于随机变量的和的定义域的一个小疑问
201/2返回列表12下一页
查看: 2165  |  回复: 19
只看楼主 @他人 存档 新回复提醒 (忽略) 收藏    在APP中查看

hubeizk

银虫 (小有名气)

[求助] 关于随机变量的和的定义域的一个小疑问 已有2人参与

设X1，X2,,,Xn都是概率空间(A,F,\mu)上的随机变量，由定理可知X=X1+X2+...+Xn也是随机变量，现在我的疑问是X的定义域是哪个空间？答案不外乎两种：一.X的定义域仍是A，但在这种情况下，不妨取A={抛掷硬币的正面，反面}，X1...Xn i.i.d, 且Xi(正面)=1，Xi(反面)=0，那么在这种情况下X的取值只有0或n，因为X(正面)=1+1+...+1=n，X(反面)=0+0+...+0=0，这种情况应该是错的；二.X的定义域是A*A*...*A，如果是这样，那么就可以解释上面例子中X的取值，即从0到n都可以取到，但是在这种情况下，关于定理“随机变量和的期望=每个随机变量的期望的和”就不能简单的用积分是线性的这个性质来证明，那又该如何证明。
关于这个地方想了好久也没想通
回复此楼

» 猜你喜欢

» 本主题相关价值贴推荐，对您同样有帮助:
1楼 2014-02-12 10:03:57
已阅   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

jabile

木虫 (正式写手)
引用回帖:
10楼: Originally posted by hubeizk at 2014-02-12 13:12:45
恩，这样的确可以同时解释上面的问题。那么对于任意一个随机变量的和的问题，按照如此方法定义是不是略显麻烦？有没有其它更为简单的解释了？...

一般地，设X,Y都是同一个概率空间(A,F,P)到可测空间(E,B(E))上的
映射，即E-值随机变量，若E上可以定义加法，加法是乘积可测空间
E^2到E上的可测映射，(X,Y)是A到E^2上的可测映射，复合映射
A\rightarrow E^2\rightarrow E就是X,Y的和
赞一下(1人) 回复此楼
11楼2014-02-12 14:01:39
已阅   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

hubeizk

银虫 (小有名气)
引用回帖:
11楼: Originally posted by jabile at 2014-02-12 14:01:39
一般地，设X,Y都是同一个概率空间(A,F,P)到可测空间(E,B(E))上的
映射，即E-值随机变量，若E上可以定义加法，加法是乘积可测空间
E^2到E上的可测映射，(X,Y)是A到E^2上的可测映射，复合映射
A\rightarrow E^2\r ...

恩，证明随机变量的和仍然是随机变量就是这种方法，但是根据这种解释就是说X+Y是定义在空间A上的，而不是乘积空间上，这不就是最开始说得第一种解释？
赞一下(1人) 回复此楼
12楼2014-02-12 18:31:27
已阅   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

math2000

铁杆木虫 (职业作家)
引用回帖:
10楼: Originally posted by hubeizk at 2014-02-12 13:12:45
恩，这样的确可以同时解释上面的问题。那么对于任意一个随机变量的和的问题，按照如此方法定义是不是略显麻烦？有没有其它更为简单的解释了？...

概率论的目标是研究样本空间各种可测子集的概率大小的，但因为一般的样本空间没有什么数学结构，比如线性结构、度量结构等，也就是说对一般的样本空间来说，其数学结构太差，不好处理，所以才引入随机变量，将样本空间映射到实数域，因为实数域是i一个非常好的集合，具有非常好的数学结构。
从映射的角度看，随机变量就是一个样本空间到实数域的映射，：定义域是样本空间，值域是实数，概率论一般就只研究其值域，将样本空间的子集转化为实数的可测子集，便于计算。通常不考虑映射的具体形式，所以只要假设有一个样本空间存在就可以了。
所以楼主不必纠结其定义域
赞一下(1人) 回复此楼
15楼2014-02-13 10:33:28
已阅   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
普通回帖

polypro

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
纯粹的随机变量序列是无法做积分的（没有规律，无法写出积分函数）。每个随机变量有阈值范围，所以你说的定理必须还有一定的条件。
赞一下 回复此楼
泉涸,鱼相与处于陆,相呴以湿,相濡以沫,不如相忘于江湖。
2楼2014-02-12 10:35:51
已阅   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

hubeizk

银虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by polypro at 2014-02-12 10:35:51
纯粹的随机变量序列是无法做积分的（没有规律，无法写出积分函数）。每个随机变量有阈值范围，所以你说的定理必须还有一定的条件。

所说的随机变量X的积分即是在概率空间下的lebesgue积分，\integral X dP.另外定理“随机变量和的期望=每个随机变量的期望的和“在我所看教材中的确是有条件的，条件是随机变量X,Y>=0且X、Y可积，但是lebesgue积分的线性只需要两个函数可积就行，所以我也在想定理为什么要加上X，Y>=0这个限制条件。。。。（注：最开始问题中的随机变量都是可积的）
赞一下 回复此楼
3楼2014-02-12 11:01:03
已阅   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

jabile

木虫 (正式写手)
随机变量关心的是值域而非定义域
赞一下 回复此楼
4楼2014-02-12 11:05:43
已阅   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

hubeizk

银虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by jabile at 2014-02-12 11:05:43
随机变量关心的是值域而非定义域

虽然说关心的是值域，但随机变量本质是一个函数，既然是一个函数至少就应该弄清它的定义域
赞一下 回复此楼
5楼2014-02-12 11:11:19
已阅   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

jabile

木虫 (正式写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by hubeizk at 2014-02-12 11:11:19
虽然说关心的是值域，但随机变量本质是一个函数，既然是一个函数至少就应该弄清它的定义域...

随机变量的定义域主要是为了提供分布，所以一般谈随机变量，除非为了构造分布或者说明分布的存在性，一般是不讲定义域的
至于随机变量的和的问题则完全和定义域无关
赞一下 回复此楼
6楼2014-02-12 12:13:15
已阅   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

jabile

木虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by hubeizk at 2014-02-12 11:01:03
所说的随机变量X的积分即是在概率空间下的lebesgue积分，\integral X dP.另外定理“随机变量和的期望=每个随机变量的期望的和“在我所看教材中的确是有条件的，条件是随机变量X,Y>=0且X、Y可积，但是lebesgue积 ...

应该指实随机变量吧，X,Y>=0，这个条件是不需要的
赞一下 回复此楼
7楼2014-02-12 12:19:36
已阅   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

hubeizk

银虫 (小有名气)
引用回帖:
6楼: Originally posted by jabile at 2014-02-12 12:13:15
随机变量的定义域主要是为了提供分布，所以一般谈随机变量，除非为了构造分布或者说明分布的存在性，一般是不讲定义域的
至于随机变量的和的问题则完全和定义域无关...

非常感谢！但我还是没有弄懂最开始提的问题。随机变量的和由定理可知仍然是一个随机变量，也就是一个可测函数，研究该随机变量的分布肯定得先知道它的值域，因此绕不开它的定义域，所以我想知道随机变量的和的定义域是哪个空间
赞一下 回复此楼
8楼2014-02-12 12:32:38
已阅   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
hubeizk: 金币+20, ★★★★★最佳答案, 在我想给金币的人里面只有你的这个帖子能给，就全给这个帖子好了 2014-02-13 10:54:13
楼主对测度论研究得很仔细，个人提点个人看法，不一定对，仅供楼主参考：
A本身就是一个无穷乘积空间：即A={w=(w1,w2,w3,....,wn,...)|wi=正面或反面}
随机变量Xn的定义为 Xn(w)=1 若 wn=正面，Xn(w)=0 若 wn=反面，n=1,2,3,....
即随机变量可以看成样本点在第n个坐标上的投影
这样X= X1+X2+...+Xn就比较好理解了
赞一下 回复此楼

» 本帖已获得的红花（最新10朵）

hubeizk
9楼2014-02-12 12:53:29
已阅   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

hubeizk

银虫 (小有名气)
送红花一朵
引用回帖:
9楼: Originally posted by math2000 at 2014-02-12 12:53:29
楼主对测度论研究得很仔细，个人提点个人看法，不一定对，仅供楼主参考：
A本身就是一个无穷乘积空间：即A={w=(w1,w2,w3,....,wn,...)|wi=正面或反面}
随机变量Xn的定义为 Xn(w)=1 若 wn=正面，Xn(w)=0 若 wn=反面 ...

恩，这样的确可以同时解释上面的问题。那么对于任意一个随机变量的和的问题，按照如此方法定义是不是略显麻烦？有没有其它更为简单的解释了？
赞一下 回复此楼
10楼2014-02-12 13:12:45
已阅   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
相关版块跳转 我要订阅楼主 hubeizk 的主题更新
201/2返回列表12下一页
最具人气热帖推荐 [查看全部] 作者 回/看 最后发表
[考研] 材料学硕297已过四六级求调剂推荐 +11 adaie 2026-03-19 11/550 2026-03-20 21:30 by laoshidan
[考研] 材料与化工 322求调剂 +3 然11 2026-03-19 3/150 2026-03-20 21:05 by zhukairuo
[考研] 274求调剂 +9 S.H1 2026-03-18 9/450 2026-03-20 20:54 by zhukairuo
[考研] 289求调剂 +6 怀瑾握瑜l 2026-03-20 6/300 2026-03-20 20:30 by 学员8dgXkO
[考研] 材料080500调剂求收留 +8 一颗meteor 2026-03-13 8/400 2026-03-20 20:00 by zhukairuo
[考研] 353求调剂 +3 拉钩不许变 2026-03-20 3/150 2026-03-20 19:56 by JourneyLucky
[考研] 0703化学调剂 ，六级已过，有科研经历 +13 曦熙兮 2026-03-15 13/650 2026-03-20 19:35 by Dream007008
[考研] 广西大学家禽遗传育种课题组2026年硕士招生（接收计算机专业调剂） +3 123阿标 2026-03-17 3/150 2026-03-20 15:58 by 飞行琦
[考研] 复试调剂 +4 z1z2z3879 2026-03-14 6/300 2026-03-19 17:18 by fei626-918
[考研] 0703化学调剂 +4 18889395102 2026-03-18 4/200 2026-03-19 16:13 by 30660438
[考研] 0703化学调剂 +5 pupcoco 2026-03-17 8/400 2026-03-19 13:58 by houyaoxu
[考研] 302求调剂 +10 呼呼呼。。。。 2026-03-17 10/500 2026-03-18 12:45 by Linda Hu
[考博] 26申博 +4 八6八68 2026-03-16 4/200 2026-03-17 13:00 by 轻松不少随
[考研] 283求调剂 +3 听风就是雨； 2026-03-16 3/150 2026-03-17 07:41 by 热情沙漠
[考研] 304求调剂 +5 素年祭语 2026-03-15 5/250 2026-03-16 17:00 by 我的船我的海
[考研] 一志愿211 0703方向310分求调剂 +3 努力奋斗112 2026-03-15 3/150 2026-03-16 16:44 by houyaoxu
[考研] 304求调剂 +3 曼殊2266 2026-03-14 3/150 2026-03-16 16:39 by houyaoxu
[考研] 321求调剂 +5 大米饭！ 2026-03-15 5/250 2026-03-16 16:33 by houyaoxu
[考研] 本科南京大学一志愿川大药学327 +3 麦田耕者 2026-03-14 3/150 2026-03-14 20:04 by 外星文明
[考研] 一志愿哈工大材料324分求调剂 +5 闫旭东 2026-03-14 5/250 2026-03-14 14:53 by 木瓜膏
信息提示
关闭
请填处理意见
关闭