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caoyanyi银虫 (小有名气)
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[求助]
无穷个无穷小乘积为什么不是无穷小？ 已有8人参与
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今日于看到无穷个无穷小乘积不是无穷小，求一通俗易懂实例。 [ 发自手机版 http://muchong.com/3g ] |
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fyq98
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【答案】应助回帖
★ ★
感谢参与，应助指数 +1
caoyanyi: 金币+2, ★★★很有帮助 2014-10-31 13:09:36
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caoyanyi: 金币+2, ★★★很有帮助 2014-10-31 13:09:36
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可以这样看：在离散的情形下 无穷小指的是收敛于0的数列。 当对无穷小做乘积时，要注意到这些数列收敛到0的情况（比如说快慢）是不一样的。 如果是有限个做乘积，那么其结果必然还是无穷小，因为有限个无穷小每个都是有界的，有限个有限数乘积还是有限数； 如果是无限个，那么就要注意，无限个数相乘可能发散，也可能是无穷大；如果乘积为无穷大，在广泛的意义下，可以认为这时数列每一项都是无穷大，从而数列不会收敛到0. 这方面的例子很多，具体的可以再《高等数学研究》上查一下 |
12楼2014-10-31 13:05:12
liuqh
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2楼2014-10-31 09:59:31
【答案】应助回帖
★ ★ ★
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caoyanyi: 金币+3, ★★★很有帮助, 辛苦了，非常感谢 2014-10-31 11:01:34
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caoyanyi: 金币+3, ★★★很有帮助, 辛苦了，非常感谢 2014-10-31 11:01:34
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手机上发的，不知道看起来怎么样。 解答如下: 举个无穷多个无穷小的乘积是无穷大的例子： 无穷阵列：a=(0.5)^(n-i) 其中n-->无穷大 可以看这一个阵列的任意一个元素都是无穷小 （可以用定义证明，不管i有多大，a都是无穷小） 我们再来看一看这个阵列的乘积（无限多个无穷小的乘积） 可以看到，无论n多大，这个乘积都是无穷大。 （前n-1个乘数小于1，第n个乘数等于1，但是第n个以后还有无穷多个乘数大于1，故这个乘积是无穷大。即：不管n多大，这个乘积都是无穷大） 另外的， 定义函数列如下: 1.fn(x)的定义域为:[1,+∞). 2.f1(x)=1, x∈[1,2) f1(x)=1/x, x∈[2,+∞) 3.n>1, fn(x)=1, x∈[1,n) fn(x)=x^(n-1), x∈[n,n+1) fn(x)=1/x, x∈[n+1,+∞) 4.设F(x)=∏{1≤n}fn(x), ⅰ.x∈[1,2) ==>fn(x)=1 ==>F(x)=∏{1≤n}fn(x)=1 ⅱ.x∈[k,k+1),k>1 fn(x)=1/x,n≤k-1 fk(x)=x^(k-1), fn(x)=1,k+1≤n F(x)=∏{1≤n}fn(x)= =f1(x)*..*f(k-1)(x)*fk(x)*1*1...= =(1/x)*..(1/x)*x^(k-1)*1..*1...= =1 所以F(x)≡1,因此当x→+∞时,F(x)不是无穷小. 但对于每个fn(x),当x→+∞时,fn(x)是无穷小. (显然Lim{x→+∞}fn(x)=0) 所以无穷个无穷小的乘积不一定是无穷小. [ 发自手机版 http://muchong.com/3g ] |
3楼2014-10-31 10:00:59
柳清
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4楼2014-10-31 10:58:20
200