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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 物理 » 基础物理 » 量子力学 本征态
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海心焰

至尊木虫 (著名写手)

[求助] 量子力学 本征态 已有6人参与

最近学习量子力学，遇到了这样的一个问题，感觉做法都没错，或许是理解有误吧，希望懂的人帮忙一下，具体问题见图：

量子力学 本征态
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世情推物理！
1楼 2014-10-23 22:51:03
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

racoon01

专家顾问 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
这是量子力学中著名的老问题了。

根源在于量子态所在的空间是无限维的矢量空间，而不是有限维矢量空间，因此tr(ab)并不一定等于tr(ba).

从技术上讲，左矢量并不是量子态空间中的元素，因此量子态空间的算符并不能直接作用于左矢量身上，而必须向右作用于右矢量身上。按这样的理解，
<p|px|p>=<p|(xp+i\hbar)|p>=p<p|x|p> + i\hbar
如此就不会有矛盾。

左矢量的作用是右矢量的线性映射，仅此而已。许多流行教材里不讲原则，也让力学量算符向左作用，这是导致若干逻辑矛盾的原因。正因为如此，Weinberg在他2013年的著作lectures on quantum mechanics里放弃了使用dirac右矢量和左矢量的概念。
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racoon
8楼2014-10-24 10:30:41
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leedobb

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
应该第二个结果是对的。
关键要注意到只有
<p| \hat{P} ^{\dag} = p<p|  （p算符得取Hermitian conjugate 之后才会作用于bra）
而不是
<p| \hat{P} = p<p|

-------------
而在
<p|px|p>中，p算符不作用于<p|中，它只作用于(x|p>也即：
<p|px|p>不等于 （<p|p ） （x|p>
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有一天，我打了个瞌睡就到了这里，但我知道我掉入了时光的循环中，虽得以永生，但只有第一个循环有意义。
2楼2014-10-24 00:32:28
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racoon01

专家顾问 (著名写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
7楼: Originally posted by zhioy at 2014-10-24 10:22:41
楼主的问题是我以前没注意过的，很值得我深思啊。但是形式上还是可以让1，2统一的，
      P|p>=p|p>,<p|XP|p>=(<p|X)(P|p>,左边括号里面可以写成对p的偏导ih*d/dp<p|，所以最后得到ih，与2 ...

你帖子里的观点不对。态矢量并不是波函数，它是脱离表象选择而存在的一个抽象概念。在没有选定表象之前，对态矢量并不存在求导数这样的运算。只有选定表象后，才可以对波函数求导数。
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racoon
9楼2014-10-24 10:36:58
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leedobb

金虫 (正式写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by racoon01 at 2014-10-24 10:30:41
这是量子力学中著名的老问题了。

根源在于量子态所在的空间是无限维的矢量空间，而不是有限维矢量空间，因此tr(ab)并不一定等于tr(ba).

从技术上讲，左矢量并不是量子态空间中的元素，因此量子态空间的算符并 ...

你说的是对的，左矢量其实跟右矢量不一样，这在微分几何书里讲得很清楚，它是把右矢量线性映射到一个数的“函数”，
算符是把右矢量映射到另一个右矢量的函数。
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有一天，我打了个瞌睡就到了这里，但我知道我掉入了时光的循环中，虽得以永生，但只有第一个循环有意义。
18楼2014-10-24 16:44:12
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普通回帖

leedobb

金虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by leedobb at 2014-10-24 00:32:28
应该第二个结果是对的。
关键要注意到只有
<p| \hat{P} ^{\dag} = p<p|  （p算符得取Hermitian conjugate 之后才会作用于bra）
而不是
<p| \hat{P} = p<p|

-------------
而在
<p|px|p> ...

不好意思右括号变成了笑脸)，罪过
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有一天，我打了个瞌睡就到了这里，但我知道我掉入了时光的循环中，虽得以永生，但只有第一个循环有意义。
3楼2014-10-24 00:34:04
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walk1997

金虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by leedobb at 2014-10-24 00:32:28
应该第二个结果是对的。
关键要注意到只有
<p| \hat{P} ^{\dag} = p<p|  （p算符得取Hermitian conjugate 之后才会作用于bra）
而不是
<p| \hat{P} = p<p|

-------------
而在
<p|px|p> ...

<p| \hat{P} ^{\dag} = p<p|  （p算符得取Hermitian conjugate 之后才会作用于bra）
而不是
<p| \hat{P} = p<p|
---------------------------------------------
这么理解的话 认为p不是厄米算符？
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4楼2014-10-24 08:03:45
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leedobb

金虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by walk1997 at 2014-10-24 08:03:45
<p| \hat{P} ^{\dag} = p<p|  （p算符得取Hermitian conjugate 之后才会作用于bra）
而不是
<p| \hat{P} = p<p|
---------------------------------------------
这么理解的话 认为p不是厄米算符 ...

这样看来，我也有点晕了，
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有一天，我打了个瞌睡就到了这里，但我知道我掉入了时光的循环中，虽得以永生，但只有第一个循环有意义。
5楼2014-10-24 09:06:14
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zhuhejushi

禁虫 (著名写手)
本帖内容被屏蔽
6楼2014-10-24 09:53:12
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zhioy

银虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
楼主的问题是我以前没注意过的，很值得我深思啊。但是形式上还是可以让1，2统一的，
      P|p>=p|p>,<p|XP|p>=(<p|X)(P|p>,左边括号里面可以写成对p的偏导ih*d/dp<p|，所以最后得到ih，与2一致。
就我现在看来，问题出现在动量坐标连续的问题上，实际上px的对易在离散情形下，x写在左右两边时相差一个小的距离（这句话仅供参考。。。）。
最后再补充一点，<p|X|p>实际上对应一个对delta函数的求导，所以为了谨慎，不变化xp（不论是算符还是本征值）
次序，1，2结果也一致，也就是说写成<p|XP|p>=(<p|X|p>）p，<p|PX|p>=p<p|X|p>。
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...
7楼2014-10-24 10:22:41
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leedobb

金虫 (正式写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by racoon01 at 2014-10-24 10:30:41
这是量子力学中著名的老问题了。

根源在于量子态所在的空间是无限维的矢量空间，而不是有限维矢量空间，因此tr(ab)并不一定等于tr(ba).

从技术上讲，左矢量并不是量子态空间中的元素，因此量子态空间的算符并 ...

其实我的意思跟你是一样的，关键是 <p|Px|p>中的P不会作用于<p|。
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有一天，我打了个瞌睡就到了这里，但我知道我掉入了时光的循环中，虽得以永生，但只有第一个循环有意义。
10楼2014-10-24 11:00:19
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