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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求一极限题目
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

[求助] 求一极限题目 已有2人参与

题目如下：
设a>0，设bn=[1-(1/n)^(1+a)]，对bn（此处n是下标）进行连乘，从k乘到无穷大，得到dk（此处k是下标），
即dk等于bk*b(k+1)*...，求dk的极限，当k趋于无穷大时。
谢谢
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1楼 2014-06-04 12:35:58
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vect

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
应该得不到其值，可以用同号级数的等价级数证明其收敛

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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2楼2014-06-04 13:18:57
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)
引用回帖:
2楼: Originally posted by vect at 2014-06-04 13:18:57
应该得不到其值，可以用同号级数的等价级数证明其收敛

收敛很容易证明，单调上升，且有上界。
希望的极限应该是1，但不好证明
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3楼2014-06-04 20:33:41
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vect

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by math2000 at 2014-06-04 20:33:41
收敛很容易证明，单调上升，且有上界。
希望的极限应该是1，但不好证明...

dk可以理解为对其取对数后一个收敛级数的部分各的余项，这样余项趋向于零，相当于极限为1
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4楼2014-06-04 21:28:30
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zhengzi

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
好久没做级数题了，不知道这个定理是否存在。
上述问题可转换成求级数[1]:lnbk+lnb(k+1)+...的极限，lnbk~bk-1,然后极限问题又转换成级数[2]:bk+b(k+1)+...-n,有课本上例题可知显然级数[2]极限为0，所以级数[1]为0，所以所求级数极限为1.
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5楼2014-06-04 23:13:30
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)
引用回帖:
5楼: Originally posted by zhengzi at 2014-06-04 23:13:30
好久没做级数题了，不知道这个定理是否存在。
上述问题可转换成求级数:lnbk+lnb(k+1)+...的极限，lnbk~bk-1,然后极限问题又转换成级数:bk+b(k+1)+...-n,有课本上例题可知显然级数极限为0，所以级数为0，所以所求级 ...

谢谢！！
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6楼2014-06-05 13:05:46
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zhengzi

金虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by math2000 at 2014-06-05 13:05:46
谢谢！！...

我说的意思你看明白了么，我也不确定是不是错的。
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7楼2014-06-05 15:03:59
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wangmabel

新虫 (初入文坛)
利用求对数，问题转化成求log b_{k}+log b_{k+1}+......, 此级数的极限为零，因为可以考察数项级数log b_{1}+log b_{2}+.....，此级数利用比较判法收敛，从而得出结论。
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8楼2014-06-06 20:47:02
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