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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

[求助] 求一极限题目 已有2人参与

题目如下:
设a>0,设bn=[1-(1/n)^(1+a)],对bn(此处n是下标)进行连乘,从k乘到无穷大,得到dk(此处k是下标),
即dk等于bk*b(k+1)*...,求dk的极限,当k趋于无穷大时。
谢谢
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

引用回帖:
2楼: Originally posted by vect at 2014-06-04 13:18:57
应该得不到其值,可以用同号级数的等价级数证明其收敛

收敛很容易证明,单调上升,且有上界。
希望的极限应该是1,但不好证明
3楼2014-06-04 20:33:41
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vect

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
应该得不到其值,可以用同号级数的等价级数证明其收敛

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
2楼2014-06-04 13:18:57
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vect

至尊木虫 (著名写手)

引用回帖:
3楼: Originally posted by math2000 at 2014-06-04 20:33:41
收敛很容易证明,单调上升,且有上界。
希望的极限应该是1,但不好证明...

dk可以理解为对其取对数后一个收敛级数的部分各的余项,这样余项趋向于零,相当于极限为1
4楼2014-06-04 21:28:30
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zhengzi

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
好久没做级数题了,不知道这个定理是否存在。
上述问题可转换成求级数[1]:lnbk+lnb(k+1)+...的极限,lnbk~bk-1,然后极限问题又转换成级数[2]:bk+b(k+1)+...-n,有课本上例题可知显然级数[2]极限为0,所以级数[1]为0,所以所求级数极限为1.
5楼2014-06-04 23:13:30
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