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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 关于打靶法解二阶微分方程的数值解的问题
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youxinda

金虫 (小有名气)

[交流] 关于打靶法解二阶微分方程的数值解的问题 已有4人参与

原题
c''+2/r*c'=5c  0≤r≤1
c'(0)=0,c(1)=1
转化为二元方程组求解：设c1=c,c2=c'=f1（r)；则c2'=-2/r*c2+5*c1=f2(r)；c2(0)=0,令c1(0)=M,解出c1(1)即c(1)使其满足值为1.
也就是转化成
c1'=c2=f1
c2'=-2/r*c2+5c1=f2
c1(0)=m,c2(0)=0,目标是c（1）=1也就是c1（1）=1
      求取采用四阶R-K（龙格库塔）并迭代m。
      但是问题是用R-K过程中，需要f2（0），但是c2'=-2/r*c2+5*c1=f2（r)中的r不能为零，于是出现问题。不知道该如何解决，老师说可以用罗比达法则求极限来求f2（0）所以来请教.谢谢大家~刚刚用没金币。。。。听师兄说小木虫有很多大神，没什么金币希望能帮忙~
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1楼 2014-05-13 18:43:53
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xcenxcen

银虫 (小有名气)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
lim(r->0)c'(r)/r=c''(0)
f2(0)=lim(r->0)(-2/r*c'(r))+5c(0)=-2c''(0)+5c(0)=-2c2'+5c1
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待我长发及腰，遮住一身肥膘。纵然虎背熊腰，也要高冷傲娇。
2楼2014-05-13 18:58:46
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
★
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c''+2/r*c'=5c  0≤r≤1       (1)
c'(0)=0,c(1)=1               (2)
(1)两边同乘r:
r*c''+2*c'=5*r*c            (3)
设U(s)为c的拉氏变换，（3）两边求拉氏变换，得到：
-d[s^2*U-s*c(0)]/ds+2*[s*U-c(0)]=-5*dU/ds
U(s)=A+c(0)/[2*sqrt(5)]*Ln{[s+sqrt(5)]/[s-sqrt(5)]}
c(r)=A*δ(r)+c(0)/[2*sqrt(5)]*L^(-1){Ln{[s+sqrt(5)]/[s-sqrt(5)]}}
L^(-1){Ln{[s+sqrt(5)]/[s-sqrt(5)]}}是Ln{[s+sqrt(5)]/[s-sqrt(5)]}的拉氏逆变换，δ(r)为阶跃函数。
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3楼2014-05-13 21:08:21
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youxinda

金虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by xcenxcen at 2014-05-13 18:58:46
lim(r->0)c'(r)/r=c''(0)
f2(0)=lim(r->0)(-2/r*c'(r))+5c(0)=-2c''(0)+5c(0)=-2c2'+5c1

c2'=-2/r*c2+5c1，那么c2‘（0）还是不能算呀。我也有试过这么做。。还是谢了~
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4楼2014-05-14 16:34:23
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youxinda

金虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by peterflyer at 2014-05-13 21:08:21
c''+2/r*c'=5c  0≤r≤1       (1)
c'(0)=0,c(1)=1               (2)
(1)两边同乘r:
r*c''+2*c'=5*r*c            (3)
设U(s)为c的拉氏变换，（3）两边求拉氏变换，得到：
-d/ds+2*=-5*dU/ds
U(s)=A+c(0)/* ...

不好意思啊。要求的不是解析解是数值解哦。
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5楼2014-05-14 16:42:36
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嘻哈学士

银虫 (小有名气)
★
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楼主我也困扰，你解决了吗？
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6楼2015-01-30 10:20:11
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
是这样，在r=0附近不能直接采用数值积分，要先做级数展开，得到r=0附近的展开式，然后在稍远离r=0的地方开始使用数值方法。
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7楼2015-01-30 22:16:32
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