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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 应用数学与力学 » 矩阵特征值问题
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mechaniclmw

木虫 (小有名气)

[求助] 矩阵特征值问题 已有2人参与

对于实对称矩阵，其本征值一定是实数；对于实反对称矩阵，其本征值一定为纯虚数；那么，对于实的非对称矩阵，本征值一定是复数吗？？求高手解答。
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1楼 2014-03-11 23:13:23
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
mechaniclmw: 金币+1 2014-03-12 08:42:30
mechaniclmw: 金币+1, ★有帮助 2014-03-12 14:10:58
随便找一次数不超过n的实系数多项式，可以把它做成某个n阶实矩阵的最小多项式： 按照不可约因子构造Jordan块， 这些小的分块矩阵组成一个大矩阵。 （如果n为奇数， 要求实系数多项式最少有一个实根)

因此， 对于实的非对称矩阵， 特征值如果有复数的话， 必须成对出现，其他的就再没有限制了。
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We_must_know. We_will_know.
2楼2014-03-11 23:30:31
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
mechaniclmw: 金币+1 2014-03-12 08:42:38
mechaniclmw: 金币+2, ★有帮助 2014-03-12 14:11:15
"对于实反对称矩阵，其本征值一定为纯虚数"
这个说法不正确!
比如:A =
     0     1     0
    -1     0     1
     0    -1     0
A有一个零特征!
应该说"对于实反对称矩阵，其非零本征值一定为纯虚数"
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
3楼2014-03-12 08:21:23
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mechaniclmw

木虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by wurongjun at 2014-03-12 08:21:23
"对于实反对称矩阵，其本征值一定为纯虚数"
这个说法不正确!
比如:A =
     0     1     0
    -1     0     1
     0    -1     0
A有一个零特征!
应该说"对于实反对称矩阵，其非零本征值一 ...

嗯，我的理解是：0是特殊情况，既可以认为是实数，也可以认为是一种特殊的“纯”虚数。可能不严谨哈
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4楼2014-03-12 08:39:27
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mechaniclmw

木虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by hank612 at 2014-03-11 23:30:31
随便找一次数不超过n的实系数多项式，可以把它做成某个n阶实矩阵的最小多项式： 按照不可约因子构造Jordan块， 这些小的分块矩阵组成一个大矩阵。 （如果n为奇数， 要求实系数多项式最少有一个实根)

因此， 对于 ...

确实，实矩阵的本征值肯定是成复共轭成对出现的。我关心的是：实的非对称矩阵，本征值一定会是复数吗？
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5楼2014-03-12 08:41:44
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)
引用回帖:
4楼: Originally posted by mechaniclmw at 2014-03-12 08:39:27
嗯，我的理解是：0是特殊情况，既可以认为是实数，也可以认为是一种特殊的“纯”虚数。可能不严谨哈...

"我关心的是：实的非对称矩阵，本征值一定会是复数吗？"
不一定的!
>> A=[0 -1;2 0]
A =
     0    -1
     2     0
>> eig(A)
ans =
        0 + 1.4142i
        0 - 1.4142i
>> A=[0 -1;-2 0]
A =
     0    -1
    -2     0
>> eig(A)
ans =
    1.4142
   -1.4142
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
6楼2014-03-12 11:00:52
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